ПРЕДИСЛОВИЕ

После появления работы Келлога (1929 г.) по теории потенциала вышла в свет только монография Валле-Пуссена (1949 г.), но ее публикация сильно запоздала и она посвящена, главным образом, личным исследованиям автора. Таким образом, в литературе нет единого изложения многочисленных, разнообразных и весьма важных работ по теории потенциала, появившихся за последние двадцать или тридцать лет.

Современные исследования, все более и более активные, черпают свое богатство, прежде всего, в многообразии точек зрения и методов классической теории, которую все еще необходимо знать в общих чертах, прежде чем переходить к изучению современных аксиоматических методов. Эти обстоятельства побудили меня опубликовать сначала современный курс основ классической теории потенциала (в евклидовом пространстве с ньютоновским или логарифмическим ядром), основанный на записях, тщательно выполненных моим слушателем Узелем. Я счел также полезным присоединить в виде приложения подготовительный курс первоначальных понятий современной теории гармонических функций (в нем, между прочим, встречаются обозначения, отличающиеся от применяемых в основном тексте).

Рассматриваемые здесь понятия лежат в основе построений весьма развитой и важной теории. Перечислим некоторые из них: супергармонические функции (их теория теперь аксиоматизирована), емкость (это понятие привело к общим емкостям Шоке), задача Дирихле (как известно, применяемая в теории операторов и краевых задач), принцип Дирихле (норма Дирихле привела Бёйрлинга и Дени к рассмотрению пространств Дирихле), энергия Картан обновил это понятие и ввел различные топологии в множества мер; его теория была значительно расширена Дени при помощи обобщенных функций), выметание в различных аспектах (оно привело,

например, к задаче о свертке мер на топологических группах), экстремальные элементы и т. д. Что касается существенных новейших идей, не отраженных в трактуемых здесь классических частях теории, как, например, связи с теорией вероятностей (Дуб, Хант), то я упоминаю о них в заключительном кратком обзоре и дополнительной библиографии.

Я старался придать рассуждениям такую форму, которая была бы приспособлена для дальнейших обобщений, причем порой это было внушено современными работами наиболее общего характера. Чтобы не разделять случаев и не усложнять изложения, я часто говорю об ограниченных областях или даже о шарах там, где речь могла бы идти о произвольных областях. Для соблюдения последовательности изложения пришлось сделать трудный выбор: я решил доказать как можно раньше наиболее сильную теорему сходимости, чтобы ею затем пользоваться.

Я не даю здесь никакого исторического введения, отсылая читателя, прежде всего, к детальному обзору, который я опубликовал по этому вопросу в Annales de VInstitut Fourier, 4(1952), 113-140. Каждая глава заканчивается соответствующей общей библиографией, указывающей наиболее полезные источники и наиболее важные последующие работы; дополнительной библиографией заканчивается упомянутый заключительный краткий обзор.

М. Брело

Апрель, 1959

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Теперь, когда моя работа уже разошлась, я решил продолжать ее распространение без больших задержек, учитывая отсутствие аналогичных книг и большую потребность в них.

Я не имел времени для коренной ее переделки и использовал представившийся случай только для внесения необходимых исправлений и нескольких локальных улучшений или незначительных добавлений.

Октябрь, 1961