§ 2. Параметры Бляшке — Привалова

Пусть - конечная числовая функция, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на открытом множестве пространства . В окрестности начала координат, предполагая, что оно принадлежит , имеем разложение

откуда

Точно так же, для любой точки имеем

Таким же способом можно показать, что

где вместо среднего по площади сферы фигурирует среднее по объему шара

Для всех числовых функций, суммируемых в узком или широком смысле на сферах достаточно малого радиуса и таких, что выражение имеет смысл, можно определить «периферические» параметры

Точно так же при аналогичных предположениях определяются пространственные параметры:

Через обозначаются соответственно общие значения если имеет место равенство верхнего и нижнего пределов.

Замечание. Можно доказать, предполагая суммируемость в узком смысле, что

Теорема (Бляшке - Привалов). Для того чтобы функция полунепрерывная снизу на открытом множестве пространства была супергармонической в широком смысле, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке в которой значение и конечно, выполнялось неравенство

Необходимость условия очевидна.

Для того чтобы доказать при высказанных предположениях, что функция и является супергармонической в широком смысле, достаточно доказать, что для любого замкнутого шара лежащего в неравенство выполняется для всякой конечной непрерывной функции определенной на и мажорируемой функцией и на этой сфере; в самом деле, отсюда следует, что мажорируется функцией и в шаре а следовательно,

Функция является субгармонической и имеет лапласиан кроме того, она равна нулю на Рассмотрим в функцию которая полунепрерывна сверху, причем Достаточно показать, что она отрицательна при любом . В противном случае функция должна достигать конечного строго положительного максимума в точке х, где и конечна. В этой точке должны выполняться соотношения

Таким образом, а это неравенство несовместимо с наличием максимума в точке х.

Аналогичный критерий справедлив с вместо (его можно доказать непосредственно или использовать неравенство

Приведенный критерий Бляшке — Привалова является локальным критерием гипергармоничности. Он показывает, в частности, что функция , полунепрерывная снизу на открытом множестве является супергармрнической в широком смысле, если неравенство

выполняется в каждой точке для всех достаточно малых значений где строго положительная функция от

В качестве приложения отметим, что если и — супергармоническая в широком смысле функция в , то для любого замкнутого шара В, лежащего в , функция равная и вне В и равная интегралу Пуассона в конечен и гармоничен или равен константе также является супергармонической в широком смысле.