§ 6. Интеграл Пуассона

16. Вывод интеграла Пуассона. Рассмотрим гармоническую функцию и на некотором открытом множестве, содержащем замкнутый круг с границей Мы знаем, что внутри круга

Пусть не находится в центре и образ точки при инверсии относительно Тогда

Величина остается постоянной, когда точка описывает окружность, а следовательно»

Комбинируя полученные выражения, находим

Упражнение 1. Вывести другую форму интеграла Пуассона

применимую и тогда, когда находится в центре.

Упражнение 2. Другой метод получения формулы (12): производим дробно-линейное преобразование, сохраняющее круг и переводящее точку Р в 0. Функция переходит при этом в гармоническую функцию точки — образа значение в точке 0, равное есть среднее значение на окружности Преобразуя интеграл среднего значения в интеграл относительно точки получим формулу (12).

Упражнение 3. Вывести формулу

где угол

17. Отвлекаясь от способа вывода формулы (12) изучим непосредственно интеграл Пуассона

где заданная на функция может быть конечно] и непрерывной или, вообще, суммируемой по Лебегу

Поведение внутри круга.

а) Интеграл есть гармоническая функция в

Достаточно убедиться в том, что ядро для каждой точки Мвуя есть гармоническая функция точки Направляя ось по получаем выражение

Вместо того чтобы вычислять А, заметим, что последнее выражение равно

Если есть константа К, то

В самом деле, в этом случае зависит только от так как интеграл ограничен в окрестности О, он равен константе, например значению в центре:

Поведение I(P) на границе. В каждой точке в которой (конечная или нет) функция непрерывна, имеем

Докажем, что Это очевидно, если При пусть конечное число, Достаточно доказать, что или Так как достаточно доказать, что Пусть а — дуга, охватывающая точку на которой Тогда

Второй интеграл определен и непрерывен в некоторой полной окрестности точки и равен нулю в Первый интеграл отрицателен. Отсюда следует доказываемое

неравенство. Точно так же что следовательно,

Отметим, что приведенное рассуждение при единственном предположении суммируемости функции доказывает, что

Следствие. Интеграл Пуассона решает задачу Дирихле для круга с конечной и непрерывной заданной функцией

Если и — некоторая конечная и непрерывная функция в замкнутом круге, гармоническая внутри круга, то она совпадает с Отсюда снова получаем в улучшенном виде исходный результат из относительно формы интеграла Пуассона (11). Из этого представления вытекает без использования логарифмических потенциалов аналитичность гармонических функций, так как этим свойством обладает интеграл

18. Применения.

1) Локальный критерий гармоничности. Если для конечной и непрерывной действительной (а следовательно, и комплексной) функции в области существует для каждой точки число такое, что

для всех то гармоническая функция.

В самом деле, разность определена внутри любого замкнутого круга равна нулю на границе этого круга и обладает тем же локальным свойством; что Следовательно, если эта разность достигает экстремума внутри то она постоянна. На основании принципа максимума отсюда получаем

2) Примеры гармонического продолжения.

а) Если функция и гармонична, в проколотой окрестности точки то и

продолжается в точку оставаясь гармонической (в силу непрерывности такое продолжение, очевидно, единственно).

Рассмотрим интеграл Пуассона в круге для действительной функции и. Тогда функция гармонична в проколотом круге и ее верхний предел на границе отрицателен для любого Следовательно, это выражение отрицательно во всем круге, а значит, и точно так же таким образом, и совпадает с

б) Пусть функция определена и гармонична в открытой окрестности точки по одну сторону от прямой проходящей через Предполагается, что и обращается в нуль на т. е. и стремится к нулю, когда стремится к любой точке Тогда, продолжая и противоположными по знаку значениями в симметричных относительно точках и полагая на получаем гармоническую функцию во всей окрестности

В самом деле, наше продолжение непрерывно и удовлетворяет предыдущему критерию гармоничности. Этот результат можно также установить, используя интеграл Пуассона для круга с центром на

При помощи инверсии это продолжение непосредственно обобщается на функции, заданные по одну сторону дуги окружности (симметрия заменяется соответствием при инверсии).

3) Неравенства Гарнака. Мажорируя и минорируя соответственно выражениями в формуле (13), для получаем

Следовательно, для гармонической функции справедливы неравенства

откуда

Эти оценки достигаются функцией где А — некоторая точка окружности.

В частности, в фиксированном круге меньвдего радиуса, например в имеем

Можно получить также соотношения

откуда

Теперь можно получить для функции и произвольного знака аналог формулы (8), но с менее точным коэффициентом.

Отметим также, что оценки дают первоначальное доказательство теоремы Пикара при