Глава V. КЛАССИЧЕСКИЕ И ОБЩИЕ ЕМКОСТИ

Первая часть. Классические емкости Грина в шаре

§ 1. Емкостный потенциал и емкость компактного множества

Пусть К — компактное множество, содержащееся в шаре пространства Обозначим через множество положительных супергармонических функций на В, для которых единица является минорантой на К? Введем в рассмотрение функцию есть супермедианная функция, равная единице на К и не превосходящая единицы на В (поскольку постоянная принадлежит Регуляризация функции является супергармонической функцией; мы будем обозначать ее через

Как так и являются гармоническими функциями в дополнении к множеству самом деле, пусть с В — некоторый шар, не имеющий точек пересечения с К. Для каждой функции можно построить функцию равную на множестве и равную интегралу Пуассона в принадлежит и мажорируется функцией и. Таким образом, в шаре функция есть нижняя огибающая фильтрующегося влево семейства гармонических функций следовательно, есть гармоническая функция (гл. I, § 2).

Кроме того, в каждой точке у сферы выполняется предельное соотношение

В самом деле, пусть шар, содержащий К. Функция

равна нулю на и 1 на продолжая эту функцию значениями 1 внутрь В, получаем функцию из равную нулю на Отсюда следует, что нуль является

наибольшей гармонической минорантой функции есть потенциал Грина в В. Так как на этот потенциал Грина есть гармоническая функция, носитель ассоциированной положительной меры должен содержаться в

Функция есть наибольший потенциал Грина положительной меры с носителем, содержащимся в К, мажорируемый единицей в В.

В самом деле, пусть V — некоторый потенциал Грина положительной меры, носитель которой содержится в причем в есть гармоническая функция в Соотношения выполняются соответственно для каждой точки Следовательно, в каждой точке у границы множества выполняется соотношение произвольная функция из Отсюда вытекает, что любая функция мажорирует на (гл. II, § 1). Значит, мажорирует

Определения. Емкостным потенциалом компактного множества К, содержащегося в шаре В, называется наибольший потенциал Грина положительной меры с носителем, содержащимся в мажорируемый единицей в В.

Общая масса ассоциированной меры емкостного потенциала называется емкостью множества К, емкостной мерой или емкостным распределением.

Согласно предыдущему, емкостный потенциал является регуляризацией супермедианной функции Так как равна единице на К, равенство выполняется почти всюду на Можно также показать, что множество а следовательно, и емкостный потенциал не изменяются, если заменить компактным дополнением к связной компоненте множества граница которой содержит