§ 8. Непрерывность градиента гармонической функции на границе

Теорема. Пусть в окрестности точки задана дважды непрерывно дифференцируемая гиперповерхность, и пусть с одной стороны от 2 в окрестности (т. е. в некоторой компоненте множества при достаточно малом ) задана гармоническая функция и, имеющая в каждой точке у границы предел причем функция на дважды непрерывно дифференцируема. Тогда имеет конечный предел в каждой точке границы и может быть непрерывно продолжен на

Кроме того, если то продолжение и на нормально к 2; если при этом то и и направлен в ту сторону, где и определена (т. е. производная по направлению внутренней нормали положительна).

Доказательство, в основном, опирается на следующие леммы.

Лемма 1. Пусть у — точка единичной сферы . Пусть суммируемая функция на , равная нулю вне сегмента и такая, что Тогда существует функция такая, что для всех

вещественных чисел выполняется неравенство где интеграл Пуассона.

Доказательство этой леммы нетрудно получить, дифференцируя под знаком интеграла и применяя простые оценки.

Лемма 2. Пусть последовательность суммируемых функций на , например равномерно ограниченных и равных нулю на сегменте допустим, что последовательность сходится к некоторой функции Тогда интегралы Пуассона гармонически продолжаются через посредством функций и последовательность равномерно сходится в окрестности точки у к где гармоническое продолжение интеграла через

Эта лемма вытекает из возможности гармонического продолжения и из свойств сходимости гармонических функций и их производных.

Отметим, что градиенты на сегменте нормальны к сфере.

Рассмотрим случай, когда функция равна нулю на 2. Заметим, что в окрестности точки имеет место неравенство где может быть выбрано не зависящим от при условии, что находится достаточно близко от некоторой фиксированной точки из 2. Чтобы это доказать, достаточно взять кольцо, малая сфера которого расположена в и касается 2 в точке если решение задачи Дирихле для этого кольца с граничными значениями 0 на и 1 на большой сфере, то — где X — постоянная, мажорирующая Сформулированный результат для и теперь легко получить, рассматривая поведение функции для которой имеется элементарное выражение.

Пусть, далее, последовательность точек сходящаяся к точке для всех пусть проекция на 2 (с минимальным расстоянием); последовательность также сходится к Введем в рассмотрение для каждого целого шар с центром достаточно малого постоянного радиуса, касающийся поверхности 2 в точке и связанный с ним репер с началом одна из осей которого направлена вдоль

вектора при репер стремится к некоторому предельному положению. Для того чтобы установить, что последовательность есть последовательность Коши, согласно лемме 1, достаточно рассмотреть интегралы Пуассона в от функций равных нулю на сегменте сферы и равных сужению и на сферу вне этого сегмента (и выбирается соответственно), и проверить в системе что имеют конечный предел; это последнее утверждение следует из леммы 2.

Рассмотрим теперь общий случай. В окрестности точки функцию можно представить в виде суммы — линейная функция, непрерывно зависящая от такова, что причем может быть выбрано не зависящим от если находится в окрестности некоторой фиксированной точки Используя подходящим образом выбранное кольцо, можно вывести такое же свойство для и в окрестности а затем применить предшествующее рассуждение для и Любого

Наконец, чтобы установить свойство производной по направлению внутренней нормали для строим решение задачи Дирихле в кольце, содержащемся в большая сфера которого касается 2; на этой сфере принимаем граничные значения 0, а на малой сфере — постоянные граничные значения, не превосходящие и. Производная по направлению внутренней нормали для таким образом построенной функции положительна и является минорантой для производной функции и по направлению внутренней нормали в точке

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)

(см. скан)