§ 3. Различные применения; характеризация иррегулярных точек

Пусть некоторая область. Если установлено непосредственно, что регулярная точка характеризуется существованием в окрестности этой точки в строго

положительной супергармонической функции, обращающейся в нуль в самой точке, то можно показать, не используя ни понятия разреженности, ни теоремы сходимости, что иррегулярные точки — это те точки в которых или для фиксированной точки (Булиган).

Опираясь на это свойство, можно доказать, при использовании дополнительных сведений, что иррегулярные точки образуют полярное множество.

Докажем это последнее утверждение, не используя понятия разреженности, но опираясь на теорему сходимости. Пусть возрастающее относительно компактное открытое покрытие области Функции продолженные значением 0 и регуляризованные, дают в пределе при функцию продолженную значением 0. Регуляризация этого последнего продолжения, дающая введенную выше функцию может изменить значения предельной функции только на полярном множестве.