§ 4. Логарифмический потенциал

13. Определение и частные случаи. Заметим, что если гармоническая функция точки зависящая, например, от действительного параметра изменяющегося на интервале и если и непрерывна и ограничена на то интеграл

естьгармоническая функция на

В самом деле, эта функция непрерывна, а свойство среднего значения легко проверить, меняя порядок интегрирования.

Доказанная теорема немедленно распространяется на случай, когда точка пространства с мерой Радона, покоторой производится интегрирование.

Важным частным случаем является логарифмический потенциал

представляющий собой интеграл Радона для меры (потенциал масс например, с компактным носителем К (для масс, распределенных на

В частном случае, когда существует непрерывная и ограниченная плотность Лебега на ограниченном открытом множестве элемент длины дуги кривой у, получаем потенциалы простого слоя с плотностью

Отметим некоторые свойства логарифмического потенциала.

а) Вне К потенциал есть гармоническая функция от это вытекает из гармоничности функции от

б) Поток выходящий из любого круга или любого регулярного по Грину открытого множества, содержащего равен — Чтобы вычислить поток потенциала и, выходящии из такого открытого множества, содержащего К, достаточно произвести элементарные преобразования и использовать полученное свойство Таким образом, находим, что поток потенциала меры равен , где общая масса.

в) Упражнение. Изучить потенциал

причем плотность ограниченна в . В классических сочинениях доказывается, что если имеет непрерывные первые производные, то имеет непрерывные вторые производные и (формула Пуассона). Доказать, что если непрерывна, то имеет в обобщенный лапласиан (сферический и объемный; см. п. 6), равный —

г) Равномерный слой на окружности. Если у — окружность с центром О радиуса то потенциал

есть гармоническая функция вне и внутри этой окружности. Во внешней точке он равен среднему значению функции Вне и внутри окружности потенциал зависит только от расстояния Следовательно, он имеет вид Но так как эта функция ограничена в окрестности точки 0, то потенциал постоянен внутри окружности и равен своему значению в центре

Итак, равномерный простой слой на окружности имеет потенциал

Последнее равенство нетрудно распространить на распределение масс в круге, если плотность зависит только от расстояния

14. Потенциал двойного слоя. Рассмотрим функции Ее производные по или по а, равные соответственно — являются гармоническими функциями от кроме точки и от кроме точки Следовательно, считая точку переменной и интегрируя такую производную по некоторой мере например с компактным носителем К, получаем гармоническую функцию от вне К.

Например, если замкнутая дуга, то интеграл

есть гармоническая функция вне Аналогичный интеграл с у обладает теми же свойствами, а следовательно, интеграл

где направляющие косинусы ориентированной нормали, равный с точностью до знака интегралу

есть гармоническая функция вне При наличии плотности последний интеграл принимает вид

причем в этих формулах обозначает при фиксированном производную функции от по направлению ориентированной нормали к в точке

Эти выражения называются потенциалами двойного слоя, ибо они получаются как предел общего потенциала двух соответствующих простых слоев противоположного знака, распределенных на двух близких параллельных кривых.

Заметим, что потенциал двойного слоя есть сумма производных по х и у от некоторых потенциалов простого слоя. Более основательное изучение этих потенциалов можно найти в классических сочинениях. Здесь мы хотели только дать примеры гармонических функций. Эти потенциалы важны в том отношении, что всякая гармоническая функция локально выражается, согласна формуле (5), как сумма потенциалов простого и двойного слоев, распределенных, например, по некоторой окружности.