§ 5. Классические применения теоремы сходимости

Понятия экстремизации и выметания. Рассмотрим ограниченное открытое множество (или произвольное открытое множество при ), часть множества и положительную супергармоническую функцию на Обозначим через множество положительных супергармонических функций на мажорирующих на и через пер медианную функцию да; функция называется приведением относительно Значения совпадают квазивсюду со значениями ее

регуляризации Эта регуляризация обозначается также и называется выметанием относительно или обозначается и называется экстремизацией относительно (или на в Отметим, что зависит только от значений на

Пример. -измеримый потенциал компактного множества К в шаре В есть экстремизация единицы на или выметание единицы относительно К в наряду с этим, функция введенная в гл. V, есть приведение единицы относительно К.

Общие свойства.

1) а) Всюду

всюду и квазивсюду на на и эта функция является гармонической внутри

Свойства а) и очевидны, поскольку Что касается свойства пусть полярное множество, на котором Если то рассмотрим на ассоциированную с супергармоническую функцию конечную в точке (см. гл. III, § 1). Сумма есть строго положительная супергармоническая функция, мажорирующая и на а следовательно, принадлежащая и мажорирующая всюду. В силу произвольности имеем

Кроме того, в произвольном шаре функция совпадает с нижней огибающей интегралов Пуассона, построенных по значениям для Эти интегралы образуют фильтрующееся влево. упорядоченное семейство, а отсюда следует, что —гармоническая функция на

2) Выметание есть наименьшая положительная супергармоническая функция, мажорирующая квазивсюду на

В самом деле, пусть положительная супергармроническая функция, мажорирующая на исключая, может, полярное множество положительная тупергармоническая функция, бесконечная на и

конечная в точке Тогда при любом а следовательно, откуда на

Таким образом, всюду следовательно,

Выметание масс. Ограничимся случаем, когда есть шар В.

Рассмотрим положительную меру в В и множество Пусть потенциал Грина меры в Тогда выметание в В есть положительная супергармоническая функция, минорирующая у; следовательно, наибольшая гармоническая миноранта есть нуль, так как нуль является наибольшей гармонической минорантой для и 95 представляет собой некоторый потенциал Грина Говорят, что ассоциированная с мера получена выметанием меры (или является выметанием меры относительно множества

В частности, если замкнутое множество в В, то есть гармоническая функция в и носитель меры принадлежит Если компактное множество и равномерное распределение масс на сфере концентрической с причем потенциал этого распределения равен 1 в В, то — соответственно емкостный потенциал и емкостная мера множества

Исторический пример выметания. Этот пример послужил А. Пуанкаре для введения понятия выметания. Оно несколько отличается от выметания, описанного выше; шар заменяется пространством и потенциалы Грина — ньютоновскими потенциалами, но мы уже отмечали, что изложенная теория остается применимой и в этом случае (гл. IV, § 3).

Рассмотрим открытый шар и его дополнение Пусть масса помещенная в точке х. Произведем выметание массы относительно Интеграл Пуассона, построенный по значениям потенциала массы минорирует каждую супергармоническую. функцию, мажорирующую в СВ, а

следовательно, минорирует . С другой стороны, непрерывная супергармоническая функция равная в СВ и равная указанному интегралу Пуассона в В, мажорирует в СВ, а следовательно, мажорирует Таким образом, является потенциалом выметания массы еж.

Нетрудно доказать, что мера на имеющая в качестве плотности ядро Пуассона с полюсом

дает непрерывный потенциал, совпадающий с в В и в Следовательно, это и есть мера, полученная выметанием.

Этот пример будет обобщен в гл. IX, и мы вернемся к рассмотрению выметания в гл. X.

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)