§ 6. Уравнение dT=0 в смысле теории обобщенных функций
Пусть 
обобщенная функция на открытом множестве 
пространства 
Условие 
означает, что 
есть функция, равная (почти всюду) некоторой гармонической функции.
В самом деле, предположим сначала, что 
определена во всем пространстве 
Произведя регуляризацию при помощи функции 
получим 
следовательно, — гармоническая функция. Используем две функции из 
такие, что 
при 
и интегралы от обеих функций по всему пространству равны единице. Так как 
гармоническая функция, имеем 
в дальнейшем будем варьировать 
так, чтобы 
Тогда 
сходится к дельта-функции Дирака 
и в пределе получаем 
следовательно, 
и 
есть гармоническая функция.
Пусть теперь 
определена на открытом множестве со пространства 
Введем обобщенную функцию 
сужение которой на некоторое открытое множество 
равно сужению 
Приведенное выше рассуждение доказывает, что 
совпадает с некоторой гармонической функцией на любом открытом множестве 
Таким образом, 
равна гармонической функции на любом произвольно выбранном открытом множестве 
Отсюда следует, что 
совпадает с гармонической функцией на 
.
