§ 6. Уравнение dT=0 в смысле теории обобщенных функций
Пусть обобщенная функция на открытом множестве пространства Условие означает, что есть функция, равная (почти всюду) некоторой гармонической функции.
В самом деле, предположим сначала, что определена во всем пространстве Произведя регуляризацию при помощи функции получим следовательно, — гармоническая функция. Используем две функции из такие, что при и интегралы от обеих функций по всему пространству равны единице. Так как гармоническая функция, имеем в дальнейшем будем варьировать так, чтобы Тогда сходится к дельта-функции Дирака и в пределе получаем следовательно, и есть гармоническая функция.
Пусть теперь определена на открытом множестве со пространства Введем обобщенную функцию сужение которой на некоторое открытое множество равно сужению Приведенное выше рассуждение доказывает, что совпадает с некоторой гармонической функцией на любом открытом множестве Таким образом, равна гармонической функции на любом произвольно выбранном открытом множестве Отсюда следует, что совпадает с гармонической функцией на .