§ 2. Свойства емкости и емкостного потенциала

1) Свойства и

а) Отображение является возрастающим, т. е. если и К — два компактных множества,

лежащих в В, то включение влечет за собой неравенство Отсюда следует, что отображение также является возрастающим.

В самом деле, имеем, очевидно, откуда вытекает, что

б) Отображение непрерывно справа. Это означает, что если точка х фиксирована, то для любого найдется открытое множество содержащее К и такое, что для любого компактного множества выполняется неравенство

Прежде всего установим, что указанное свойство равносильно тому, что для любой убывающей последовательности компактных множеств самом деле, если последнее утверждение справедливо, то, очевидно, свойство имеет место. Наоборот, если последнее утверждение несправедливо, то при помощи последовательности открытых множеств можно построить убывающую последовательность компактных множеств с пересечением К, такую, что

Теперь, для того чтобы установить соотношение заметим, что есть супермедианная функция, гармоническая в равная 1 на К и 0 на отсюда получаем, что Так как получаем, что Рассматривая теперь отдельно точки находим, что

в) Неравенство

выполняется для любых компактных множеств из В, и аналогичное неравенство имеет место для V (свойство сильной субаддитивности).

Это неравенство выполняется в любой точке или так как функция является минорантой для Для того чтобы проверить справедливость неравенства для точек множества заметим, что функции полунепрерывны сверху, откуда для имеем

Если положительные супергармонические функции, мажорирующие 1 соответственно на то левая часть рассматриваемого неравенства мажорируется суммой . В силу принципа максимума отсюда получаем, что в выполняется неравенство

доказывающее сформулированное утверждение.

2) Свойства емкости. Согласно определению, аналогичные свойства для емкости можно получить, используя то обстоятельство, что из неравенства для потенциалов Грина положительных масс с компактными носителями вытекает неравенство для общих масс [гл. IV, § 4, применение б)].

В этом весьма простом случае шара можно также рассмотреть поток внутрь потенциала меры с компактным носителем; этот поток равен Отсюда находим:

Емкость компактного множества К есть верхняя грань общих масс положительных мер носители которых принадлежат К и потенциалы Грина которых не превосходят единицы.

Используя это характеристическое свойство или исходя непосредственно из определения, можно показать, что для того, чтобы компактное множество К имело емкость нуль, необходимо и достаточно, чтобы потенциал любой положительной меры на К был неограниченным.

Также непосредственно выводятся следующие свойства.

1) Возрастание емкости: если компактные множества из В, то включение влечет за собой неравенство

2) Свойство непрерывности справа выражается аналогично соответствующему свойству для емкостных потенциалов. Оно также равносильно тому, что если убывающая последовательность компактных множеств из В с непустым компактным пересечением то

В самом деле, используя шар меру распределенную только в тех точках где и емкостные меры и множеств получаем

Можно также использовать поток через сферу

3) Свойство сильной субаддитивности: для любых компактных множеств из В имеет место неравенство