§ 9. Почти супергармонические функции (Шпильрейн)

Числовая функция (конечная или нет), определенная на открытом множестве пространства называется почти супергармонической, если существует супергармоническая функция на почти всюду равная

Функция единственна (§ 5); она называется супергармонической регуляризацией Значение совпадает с и с нижним пределом по мере функции в точке х.

Введение почти супергармонических функций оправдывается, с одной - стороны, использованием обобщенных

функций, а с другой стороны — тем, что полунепрерывность снизу не сохраняется при переходе к пределу по убывающей последовательности.

Критерии почти супергармоничности.

1) Для того чтобы числовая функция и (конечная или нет), определенная на открытом множестве пространства была почти супергармонической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

а) функция и локально суммируема;

б) для всех точек причем обозначает нижний предел по мере функции и в точке

Если и — почти супергармоническая функция, то откуда следует необходимость этих условий.

Наоборот, в силу условия б) всюду , так как конечно; функция также полунепрерывна снизу. Кроме того, и мажорирует почти всюду. В самом деле, так как и локально суммируема, для почти всех точек имеем Предположим, что в точке х выполняются неравенства и тогда есть миноранта по мере функции и в окрестности V точки х, а следовательно, для достаточно малых и соотношение не может выполняться в этой точке. Таким образом, множество точек х, в которых имеет меру нуль.

Из предыдущего следует, что а значит, согласно условию б), т. е. в каждой точкехобсв имеем Отсюда следует, что — супергармоническая функция (поскольку она полунепрерывна снизу и , см. § 2).

Наконец, функция почти всюду равна в самом деле, почти всюду и мажорирует с другой стороны, если предел существует, то он не превосходит согласно б). Так как почти всюду, имеем почти всюду.

2) Для того чтобы числовая функция и, определенная на открытом множестве пространства была почти супергармонической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

а) и локально суммируема;

б) для почти всех точек множества и для любого замкнутого шара выполняется неравенство

Необходимость этих условий очевидна.

Наоборот, предположим, что условия а) и б) выполнены. Для фиксированного значения функция конечна и непрерывна. Пусть точка из существует такая последовательность точек из сходящаяся к что для всех и последовательность сходится к нижнему пределу по мере функции и в точке Отсюда имеем

где произвольно. Таким образом, условие б) предыдущего критерия выполнено, а следовательно, и есть почти супергармоническая функция.

В итоге получаем, что супергармоническую функцию можно охарактеризовать как почти супергармоническую функцию, значением которой в каждой точке является ее нижний предел по мере.

Супермедианные функции. Числовая функция и (конечная или нет), определенная на открытом множестве пространства называется пространственно супермедианной (или, короче, супермедианной), если она локально суммируема и неравенство выполняется для каждого замкнутого шара лежащего в

Пространственно супермедианную функцию и можно охарактеризовать как почти супергармоническую функцию, которая мажорирует свою супергармоническую регуляризацию, или как функцию, для которой ее супергармоническая регуляризация совпадает с нижней регуляризацией и, или еще как функцию, для которой нижняя регуляризация совпадает с нижним пределом по мере функции и в точке х.

Пределы почти супергармонических функций. Пусть на открытом множестве дана последовательность почти супергармонических функций, мажорируемая по модулю на каждом компактном множестве, лежащем в некоторой суммируемой функцией. Предел этой последовательности есть почти супергармоническая функция на

Доказательство получается непосредственно при помощи критерия 2).

С другой стороны, можно доказать, что нижняя огибающая локально ограниченного снизу семейства пространственно супермедианных функций локально суммируема-, отсюда следует, что она есть пространственно супермедианная функция. Это вытекает из рассмотрения (при помощи топологической леммы) частного случая, когда являются супергармоническими функциями; этот последний случай при помощи той же леммы сводится к случаю последовательности.

В дальнейшем мы убедимся, что если являются супергармоническими функциями, то имеет место более сильное свойство: функция и отличается от супергармонической функции только на некотором полярном множестве. Понятие полярного множества вводится в следующей главе.

Замечание. В аксиоматических обобщениях в качестве понятия, близкого к гипергармоническим функциям, вводятся гипермедианные функции. Эти функции определяются на открытом множестве следующими условиями: и локально ограничена снизу; для любого замкнутого шара выполняется неравенство и где положительная мера с общей массой 1, пропорциональная площади сферы

Полезность этого понятия обусловливается следующими двумя простыми свойствами: нижняя огибающая

семейства гипермедианных функций, локально ограниченного снизу, есть функция того же типа; нижняя регуляризация принимает значения и является гипергармонической функцией.

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)