Глава XI. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

§ 1. Введение

Мы будем сначала рассматривать функции, опреде ленные во всем пространстве , и пользоватьа ядром следуя оригинальным и классически построениям А. Картана (который опирался только соотношения Ф. Рисса между супергармоническими функциями и потенциалами). Затем устанавливается связь с предшествующим материалом и, с другой стороны, получается обобщение на ограниченную область пространства с ядром Грина. Это обобщение сводится, между прочим, к расширению «принципа энергии», установленного вначале, а остальное переносится непосредственно.

Определение. Пусть локально компактное топологическое пространство. Множество конечных и непрерывных положительных числовых функций с компактным носителем, определенных на называется положительно обильным (весьма обильным), если для любой конечной и непрерывной положительной числовой функции с компактным носителем произвольного числа и некоторой (соответственно любой) окрестности V множества К существует линейная комбинация с положительными коэффициентами функций с носителями, содержащимися в V, такая, что

Нетрудно доказать, что положительная мера на полностью определена, если известны ее значения для функций некоторого положительно обильного семейства; кроме того, для последовательности положительных мер

сходимость интегралов к конечному числу для всех функций положительно обильного семейства влечет за собой грубую сходимость мер

Пример. Пусть . Рассмотрим множество конечных и непрерывных положительных функций с компактным носителем в обладающих двумя свойствами:

1) для любой окрестности нуля V существует функция носитель которой содержится в

2) множество инвариантно относительно переносов в пространстве

Докажем, что это множество положительно весьма обильно.

Пусть - непрерывная положительная функция с компактным носителем Рассмотрим некоторую компактную окрестность множества К, и пусть V — такая окрестность нуля, что любой перенос V, содержащий точки, общие с К, содержится в Существует положительная функция пропорциональная некоторой функции из носитель которой содержится в V, такая, что интеграл

Лебега равен единице. Носитель функции

содержится в Пусть в силу равномерной непрерывности можно выбрать V так, чтобы для любой точки х из включения следовало неравенство Тогда

С другой стороны, существуют конечное разбиение множества К, состоящее из измеримых множеств, и множество точек такие, что для произвольной точки х справедливо неравенство

Отсюда получаем для всех х

и

Поскольку правая часть последнего неравенства произвольно мала, утверждение доказано.

Опираясь на доказанное, построим теперь положительно весьма обильное множество функций в которые, кроме того, являются потенциалами.

Для любого функция определяется формулами

Пусть мера на сфере пропорциональная мере Лебега, общая масса которой равна 1. Нетрудно видеть, что выражается через потенциалы:

(локально это гармоническая, супергармоническая или субгармоническая функция); перенося центр в точку получаем функции составляющие искомое семейство