§ 2. Использование обобщенных функций

В этом параграфе мы будем рассматривать только меры с компактным носителем.

Если обозначить через фундаментальную функцию то формула (1) из § 1 переписывается так:

т. е. Вообще, для любой обобщенной функции с компактным носителем в мы принимаем, по определению, потенциал обобщенной функции равным регуляризации

Свойства лапласиана.

1) В смысле обобщенных функций ймеет место равенство

где дельта-функция Дирака и поток фундаментальной функции внутрь какой-либо сферы с центром 0. В самом деле, если есть обобщенная функция, то является пределом интеграла от по кольцу радиусов когда Так как гармоническая функция в этом кольце, то а следовательно, учитывая, что имеет компактный носитель, из формулы Грина получаем

Непосредственно получаются следующие равенства:

Таким образом, т. е. Нетрудно вычислить для имеем

2) Для любой обобщенной функции с компактным носителем в имеет место равенство

Теорема представления Рисса (локальная форма). Класс обобщенных функций на открытом множестве пространства удовлетворяющих

неравенству совпадает с классом почти супергармонических функций на

Докажем сначала, что для всякой почти супергармонической функции на неравенство выполняется в смысле обобщенных функций. Утверждение достаточно установить для случая, когда супергармоническая функция. Но такую функцию можно локально представить как предел возрастающей последовательности бесконечно дифференцируемых супергармонических функций (см. гл. II, § 6), лапласианы которых отрицательны; следовательно,

Наоборот, мы докажем теперь, что обобщенная функция удовлетворяющая неравенству в области пространства локально может быть представлена в виде суммы потенциала единственной положительной меры и некоторой гармонической функции. Это и есть локальная форма теоремы представления Рисса.

Как в § 6, гл. I, введем обобщенную функцию с компактным носителем в совпадающую с на ограниченном открытом множестве произвольно выбранном. так, что Тогда, согласно (3),

а следовательно, Из сказанного в § 6, гл. I следует теперь, что есть гармоническая функция. Но на следовательно, существует положительная мера совпадающая с на произвольно выбранном открытом множестве Разность есть гармоническая функция на и то же самое справедливо для множество является произвольным относительно компактным множеством в

Единственность этой меры следует из формулы (3).