§ 8. Измеримые множества

К-аналитические множества. Пусть отделимое топологическое пространство; часть А пространства называется К-аналитическим множеством, если А есть непрерывный образ множества типа лежащего в некотором компактном пространстве.

Это определение обобщает классическое определение аналитического множества как метризуемого непрерывного образа. некоторого полного метрического пространства со счетным базисом. Как известно, аналитическое множество гомеоморфно множеству типа содержащемуся в компактном метрическом пространстве. Но в компактном метрическом пространстве всякое множество типа есть множество типа Отсюда следует, что всякое классическое аналитическое множество является -аналитическим.

Напомним, что в полном метрическом пространстве со счетным базисом всякое борелевское множество есть аналитическое множество.

Обобщенная емкость. Обобщенной емкостью в отделимом пространстве называется (конечная или нет) числовая функция определенная на множестве частей А пространства и удовлетворяющая следующим аксиомам.

1) Аксиома возрастания. Из включения вытекает неравенство

2) Для любой возрастающей последовательности частей выполняется равенство

3) Для любой убывающей последовательности компактных множеств из выполняется равенство

Можно показать, что если емкость Шоке в пространстве то соответствующая внешняя емкость есть обобщенная емкость (§ 7).

Пусть — обобщенная емкость в отделимом пространстве часть А пространства называется

-измеримой, если где К — компактное множествоство. В случае емкости Шоке 6 это определение совпадает с данным в предыдущем параграфе.

Теорема -измеримости. Пусть у — обобщенная емкость в отделимом пространстве любое К-ана-литическое множество, содержащееся в некотором множестве типа пространства является -измеримым.

Лемма 1. Всякое множество типа пространства является -измеримым.

В самом деле, пусть множество типа для любого индекса возрастающая последовательность компактных множеств.

Последовательность возрастает, и ее объединением является множество Пусть так как, по аксиоме существует такой индекс что если то Предположим, что определены такие натуральные числа что если то для Последовательность множеств возрастает и, поскольку имеет объединением множество Следовательно, и существует такой индекс что если

то Таким образом, можно построить последовательность и соответствующую последовательность такие, что для всех натуральных Для любого положим

множество компактно и откуда Последовательность компактных множеств убывает, а следовательно, по аксиоме Далее, так как есть компактное множество, содержащееся

в значит, Но а есть произвольное число, меньшее, чем отсюда вытекает, что Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть отделимое пространство, отделимое пространство, снабженное обобщенной емкостью непрерывное отображение Для любой части А пространства положим ]. Числовая функция есть обобщенная емкость в и из того, что А является -измеримым, вытекает, что есть -измеримое множество.

а) Очевидно, что функция возрастает.

б) Пусть возрастающая последовательность частей пространства Тогда есть возрастающая последовательность частей пространства откуда

в) Пусть убывающая последовательность компактных множеств пространства тогда есть убывающая последовательность компактных множеств пространства Имеет место равенство В самом деле, включение очевидно. Наоборот, пусть Множество замкнуто, а значит, есть убывающая последовательность непустых компактных множеств пространства (мы предполагаем здесь, что множества непусты при всех Отсюда вытекает, что есть непустое множество, т. е. существует по крайней мере одна, точка такая, что следовательно, Таким образом,

Тем самым доказано, что есть обобщенная емкость в пространстве

Пусть теперь А — некоторая -измеримая часть пространства Для любого числа существует содержащееся в А компактное множество К, такое, что Тогда есть содержащееся в компактное множество, такое, что Это доказывает, что есть -измеримое множество.

Теорема -измеримости вытекает из лемм 1 и 2. Рассмотрим -аналитическое множество А, содержащееся в некотором компактном множестве отделимого пространства снабженного обобщенной емкостью можно предполагать, что само компактно. По определению, А есть образ множества В типа , содержащегося в компактном множестве при непрерывном отображении Обозначим через график отображения есть проекция при проектировании на

Так как отображение непрерывно, его график замкнут в отсюда следует, что где обозначает замыкание в Так как компактны, множество компактно. Поскольку В — множество типа в есть множество типа в а следовательно, и есть множество типа

Согласно лемме 1, Г есть -измеримое множество для обобщенной емкости определенной для каждой части Я пространства равенством Из леммы 2 теперь следует, что есть -изме-римое множество.

Рассмотрим, наконец, -аналитическое множество А, содержащееся в множестве типа Можно считать последовательность компактных множеств возрастающей. Полагая имеем последовательность возрастает, и, следовательно, Пусть существует такое натуральное число что для всех имеем Множество является -измеримым, так как это -аналитическое множество, содержащееся в компактном множестве Таким образом, существует компактное множество такое, что а это доказывает, что само множество А является -измеримым.

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)