§ 10. Распространение на случай ограниченной области «омега» в пространстве Rn

Точно такую же теорию можно развить для мер в ограниченной области с ядром Грина и потенциалом Грина исходя из основного неравенства (2), распространенного на эти потенциалы. В самом деле, начиная с § 3 все переносится без затруднений. Переносы функции построенные для точек расстояние которых от границы больше образуют в положительно весьма обильное семейство функций, являющихся потенциалами Грина с массами, расположенными на сферах Аппроксимации пространства шарами заменяются аппроксимациями посредством возрастающих областей границы которых предполагаются; если нужно, достаточно регулярными.

Задача, следовательно, состоит в том, чтобы установить неравенство (2) в новых условиях. Пусть сначала положительная мера имеет компактный носитель Заменяя в -потенциал (т. е. ньютоновский или логарифмический) через получим квазисупергармоническую функцию в регуляризация которой есть супергармоническая функция V, ограниченная в окрестности и имеющая ассоциированную меру причем носитель содержится в Функция V есть -потенциал меры это очевидно при а при

это следует из того, что разность стремится к 0 в бесконечности. Заметим, что интеграл конечен или бесконечен одновременно с интегралом и что интеграл

конечен.

Установим теперь, что разность — есть потенциал Грина Действительно, эта разность квазивсюду в есть гармоническая функция, ограниченная в окрестности и стремящаяся к 0 в регулярных точках. Таким образом, для положительных мер с компактным носителем вытекают соотношения

ибо второй интеграл обращается в нуль.

1) В случае при используя скалярные произведения в , для получаем

откуда в силу теории, развитой в

Это неравенство распространяется на произвольные положительные меры в посредством перехода к пределу, если учесть следующее замечание: пусть сужения положительных мер на такие области что тогда

2) Если достаточно еще рассмотреть случай положительных мер с компактным носителем в Воспользуемся, как и М. Рисс, предельным соотношением

причем для достаточно малых числа возрастают при Тогда, если для положительной меры с компактным носителем в интеграл

конечен, то для достаточно малых то же самое имеет место для

Рассмотрим, следовательно, множество таких положительных мер в О, для которых конечен интеграл

Лемма из § 2, точнее последнее неравенство, полученное при ее доказательстве, применимо в при и может быть без затруднений распространено на разности мер из в частности, на разности введенные выше. Учитывая, что получаем

Отсюда в пределе при получается аналогичное неравенство с логарифмическим ядром. Переход к неравенству с ядром Грина совершается так же.

На самом деле развитая теория может быть сразу же распространена на несколько более общий случай пространств Грина (см. далее; частный случай гиперболических римановых поверхностей был представлен Эдвардсом). Однако гораздо более важно углубить лежащий в основе принцип энергии так, чтобы он распространялся на более широкие классы пространств и ядер. Непосредственно, например, обобщая закон составления энергии из § 2, это делал А. Картан; по пути сравнения с другими принципами общей теории шел Ниномия. Отметим также

расширение на при помощи обобщенных функций, развитое Дени, с обобщенными функциями в качестве ядер.

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)