§ 7. Внешняя емкость

Внешней емкостью части А пространства называется нижняя грань внутренних емкостей открытых множеств содержащих

Поскольку внутренняя емкость возрастает, для любого открытого множества выполняется равенство Как в § 3, можно показать, что для любого компактного множества К. Множество А называется -измеримым, если эта величина обозначается Открытые и компактные множества являются -измеримыми.

Свойство. Для любых конечных семейств частей пространства таких, что для всех выполняется неравенство

Если правая часть конечна, то ее можно сколь угодно точно приблизить суммой где подходящие открытые множества, содержащие соответственно выберем открытое множество содержащее Число X мажорирует сумму следовательно, также и левую часть доказываемого неравенства.

Теорема. Для любой возрастающей последовательности частей пространства выполняется соотношение

Рассмотрим сначала случай открытых множеств ; положим Пусть число X строго меньше емкости Существует компактное множество К, содержащееся в а и такое, что Так как есть возрастающее открытое покрытие множества К, существует натуральное число такое, что для всех выполняется включение а следовательно, и неравенства Отсюда вытекает, что

Предположим теперь, что множества произвольны. Теорема очевидна, если Для достаточно большого Предположим, что все емкости конечны. Пусть последовательность положительных чисел, такая, что ряд сходится, Так как для каждого существует такое открытое множество что имеем

Отсюда, устремляя к бесконечности, получаем, что независимо от того, конечна емкость или нет. Из этого неравенства следует утверждение теоремы для всех случаев.