Глава III. ВВЕДЕНИЕ ПОЛЯРНЫХ МНОЖЕСТВ

§ 1. Определение

Множество называется локально полярным или, ради краткости, просто полярным, если для каждой точки х можно найти открытую окрестность на которой существует супергармоническая функция их, равная в каждой точке пересечения (и, что можно добавить, не уменьшая общности, строго положительная на ).

Говорят, что некоторое свойство имеет место квазивсюду, если множество точек в которых это свойство не выполняется, является полярным.

Если в определении рассматривать только точки то получается понятие, равносильное первоначальному; это следует из результата, приводимого ниже.

Свойство. Пусть полярное множество в последнем смысле, содержащееся в открытом множестве пространства (в частности, в Тогда существует супергармоническая функция и на (или даже на равная в каждой точке и называется ассоциированной супергармонической функцией с множеством в Можно показать, что существует ассоциированная функция, конечная в каждой фиксированной точке множества и даже строго положительная, если только множество ограничено.

Доказательство опирается на следующую лемму.

Лемма. Пусть и — супергармоническая функция, определенная в шаре Каков бы ни был радиус

существует супергармоническая функция, являющаяся продолжением сужения функции и на шар и конечная вне

Уменьшая если нужно, сводим доказательство к случаю, когда и ограничена снизу числом Рассмотрим функцию равную и в замкнутом шаре а в кольце совпадающую с обобщенным решением задачи Дирихле для этого кольца с граничными значениями и на на Функция полунепрерывна снизу (см. гл. I, § 7), удовлетворяет критерию Привалова всюду вне и даже на а следовательно, является супергармонической в

Указанное определение функции в кольце при помощи предельной операции с равномерной сходимостью в окрестности показывает, что принимает постоянное значение на сфере продолжая гармонически через получаем функцию Тогда существует функция линейная относительно фундаментальной функции (гл. II, § 4), принимающая значение на и мажорируемая функцией в окрестности этой сферы. Функция равная вне является супергармонической (рассуждение то же, что и для и совпадает шаре

Рассмотрим теперь такое множество что каждой точке поставлен в соответствие шар в котором существует супергармоническая функция и, принимающая значение на рассмотрим также настолько малый концентрический шар В, чтобы замыкание В не содержало фиксированной точки Так как пространство имеет счетную базу, множество можно покрыть последовательностью таких шаров В силу леммы каждому из них соответствует функция супергармоническая в конечная вне и бесконечная на Для любого натурального числа полунепрерывная снизу функция ограничена снизу в шаре пусть такая постоянная, что в шаре Пусть такая последовательность строго положительных чисел, что ряд с общим членом сходится. Тогда ряд с общим членом сходится к супергармонической функции в так как в любом

шаре функции положительны при достаточно большом и сумма ряда конечна в точке Эта супергармоническая функция равна на каждом множестве а следовательно, в каждой точке множества