Главная > Основы классической теории потенциала
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

КРАТКИЙ ОБЗОР И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Желая упростить рассуждения, мы рассматривали только ограниченные области или все пространство при Однако можно получить не только путем введения на границе или в области бесконечно удаленной точки, но и посредством построений, связанных только с областью, но не с ее границей, расширения на более общие многообразия, такие, как пространство или пространство Грина [5]. Пространством называется связное отделимое топологическое пространство, каждая точка которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную некоторому открытому множеству пространства (или его компактификации Александрова и структура которого определяется некоторым атласом или причем изменения карт суть изометрические отображения (при конформные отображения); здесь содержится случай римановых поверхностей. Если существует «функция Грина» (или, иначе, существует отличная от константы положительная супергармоническая функция, как это имеет место в при мы имеем дело с пространством Грина.

Вводятся также различные «краевые условия», например при помощи «линий Грина» (касательных к линиям или путем введения границ, получаемых пополнением в некоторой метрике, согласующейся с топологией. Изучение границы Мартина проводится так, как это было намечено выше, и она играет роль задающей границы при общем изучении супергармонических функций и задачи Дирихле, что было показано Наим (см. в библиографии к гл. XII работы Брело и Наим).

Имеется еще много других направлений, где классическая теория допускает заслуживающие внимания обобщения. Назовем здесь наиболее важные из них.

Уже указанные работы Дени, в которых ядро и меры заменяются обобщенными функциями [9].

Работы сначала Картана и Дени [6, 9], а затем Дени и Шоке [7 - 9], в которых рассматриваются свертки мер в евклидовом пространстве или на топологической группе.

Аксиоматические построения с ядерными функциями в евклидовом или локально компактном пространстве или на группе, уже частично упоминавшиеся. Здесь исследуются соотношения между «принципами» или разыскиваются ядра, им удовлетворяющие. Назовем работы современных японских математиков [Угаери, Кунугуи, Каметани, Ниномия (см. гл. XI), Мацусита и др.] и работу Шоке — Дени [8], где полностью разобран случай пространства, состоящего из конечного числа точек. Роль непрерывных потенциалов была подчеркнута в работах Анже [1], который положил их в основу своих изысканий и изложения.

Связь с теорией вероятностей была уточнена уже у Какутани. Однако значительное развитие это направление получило в работах Дуба [10], который построил аксиоматику, отличную от намеченной Таутцем [15], гармонических и супергармонических функций в топологическом пространстве, связывающую их с марковскими процессами (и позволяющую, между прочим, рассматривать одновременно некоторые эллиптические и параболические уравнения). Здесь также изучен дискретный случай.

Связанные с теорией вероятностей исследования Каца, Феллера и, в особенности, Ханта [12], в которых дается весьма общий и основательный синтез на основе изучения потенциала как преобразования, переводящего одну функцию или меру в другую функцию или меру.

Исследования Брело [4], а затем Эрве [11] (не связанные с теорией Ханта), в которых иным способом, чем у Дуба и Таутца, строится аксиоматика супергармонических функций в локально компактном пространстве (положительные потенциалы появляются как супергармонические функции, наибольшая гармоническая миноранта которых есть нуль). Существенные факты классической теории сохраняются без применения ядра или функции Грина.

Исследования Бёйрлинга и Дени [3], в которых на основе аксиоматизации интеграла Дирихле строится другая теория, не использующая понятия ядра.

Аксиоматические исследования Бауера [2] о задаче Дирихле, связанные с границей типа «границы Шилова» и расширяющие начало теории Брело [4].

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru