КРАТКИЙ ОБЗОР И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Желая упростить рассуждения, мы рассматривали только ограниченные области или все пространство при Однако можно получить не только путем введения на границе или в области бесконечно удаленной точки, но и посредством построений, связанных только с областью, но не с ее границей, расширения на более общие многообразия, такие, как пространство или пространство Грина [5]. Пространством называется связное отделимое топологическое пространство, каждая точка которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную некоторому открытому множеству пространства (или его компактификации Александрова и структура которого определяется некоторым атласом или причем изменения карт суть изометрические отображения (при конформные отображения); здесь содержится случай римановых поверхностей. Если существует «функция Грина» (или, иначе, существует отличная от константы положительная супергармоническая функция, как это имеет место в при мы имеем дело с пространством Грина.

Вводятся также различные «краевые условия», например при помощи «линий Грина» (касательных к линиям или путем введения границ, получаемых пополнением в некоторой метрике, согласующейся с топологией. Изучение границы Мартина проводится так, как это было намечено выше, и она играет роль задающей границы при общем изучении супергармонических функций и задачи Дирихле, что было показано Наим (см. в библиографии к гл. XII работы Брело и Наим).

Имеется еще много других направлений, где классическая теория допускает заслуживающие внимания обобщения. Назовем здесь наиболее важные из них.

Уже указанные работы Дени, в которых ядро и меры заменяются обобщенными функциями [9].

Работы сначала Картана и Дени [6, 9], а затем Дени и Шоке [7 - 9], в которых рассматриваются свертки мер в евклидовом пространстве или на топологической группе.

Аксиоматические построения с ядерными функциями в евклидовом или локально компактном пространстве или на группе, уже частично упоминавшиеся. Здесь исследуются соотношения между «принципами» или разыскиваются ядра, им удовлетворяющие. Назовем работы современных японских математиков [Угаери, Кунугуи, Каметани, Ниномия (см. гл. XI), Мацусита и др.] и работу Шоке — Дени [8], где полностью разобран случай пространства, состоящего из конечного числа точек. Роль непрерывных потенциалов была подчеркнута в работах Анже [1], который положил их в основу своих изысканий и изложения.

Связь с теорией вероятностей была уточнена уже у Какутани. Однако значительное развитие это направление получило в работах Дуба [10], который построил аксиоматику, отличную от намеченной Таутцем [15], гармонических и супергармонических функций в топологическом пространстве, связывающую их с марковскими процессами (и позволяющую, между прочим, рассматривать одновременно некоторые эллиптические и параболические уравнения). Здесь также изучен дискретный случай.

Связанные с теорией вероятностей исследования Каца, Феллера и, в особенности, Ханта [12], в которых дается весьма общий и основательный синтез на основе изучения потенциала как преобразования, переводящего одну функцию или меру в другую функцию или меру.

Исследования Брело [4], а затем Эрве [11] (не связанные с теорией Ханта), в которых иным способом, чем у Дуба и Таутца, строится аксиоматика супергармонических функций в локально компактном пространстве (положительные потенциалы появляются как супергармонические функции, наибольшая гармоническая миноранта которых есть нуль). Существенные факты классической теории сохраняются без применения ядра или функции Грина.

Исследования Бёйрлинга и Дени [3], в которых на основе аксиоматизации интеграла Дирихле строится другая теория, не использующая понятия ядра.

Аксиоматические исследования Бауера [2] о задаче Дирихле, связанные с границей типа «границы Шилова» и расширяющие начало теории Брело [4].

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)

(см. скан)