§ 3. Общий критерий разреженности

Пусть ограниченное открытое множество в пространстве точка из Пусть супергармоническая функция на такова, что для всякой

окрестности V точки выполняется неравенство [следовательно, есть абсолютный максимум Для того чтобы часть а множества была разреженной в точке необходимо и достаточно, чтобы для выметания в выполнялось неравенство

При доказательстве достаточности можно предполагать, что так как удаление не изменяет Тогда условие можно переписать в следующей форме:

Это условие достаточно, так как если бы не было разреженности, то здесь, как мы видели, имело бы место равенство. Более непосредственно, наше условие показывает, что существует положительная супергармоническая функция мажорирующая на а и сколь угодно близкая к в точке для которой, следовательно, справедливы неравенства

Наоборот, предположим, что множество а разрежено в точке Если то пусть V — окрестность не пересекающаяся с а, и Положительная супергармоническая функция на совпадает с на а и, следовательно, можорирует откуда имеем

Если то существует положительная супергармоническая функция у, ограниченная на и такая, что

Пусть у — такое число, что и пусть причем здесь следует выбрать число подходящим образом. В некоторой окрестности V точки для имеет место неравенство а следовательно, и Возьмем настолько

малым, чтобы на было правая часть минорируется некоторой строго положительной константой). Таким образом, на следовательно, всюду на а, откуда

Замечание. Аналогичным путем можно доказать следующий критерий. Пусть строго положительная супергармоническая функция на ограниченном открытом множестве конечная и непрерывная в точке Для того чтобы множество было разреженным в необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность точки что для выметания на выполняется неравенство

Относительно различных дополнений, в частности, относительно критериев, использующих классическую емкость (типа известного критерия Винера), которые не представляются необходимыми и не связаны с современной аксиоматикой, мы отсылаем читателя к библиографии.