§ 7. Выметание в произвольном ограниченном открытом множестве с ядром Грина

Понятиям, относящимся к приведению и выметанию в случае произвольного ограниченного

открытого множества можно придать законченную форму, используя потенциал Грина

в гл. VI эти вопросы были рассмотрены только для шара или для пространства при Напомним, что ассоциированной мерой для является выметание меры относительно

С другой стороны, имеется все необходимое, чтобы распространить на понятия емкостного потенциала и емкости. Не вдаваясь в детали доказательств, отметим следующее.

Пусть -компактное множество, содержащееся в Тогда емкостной потенциал ассоциированная мера (емкостное распределение) и емкость обладают следующими свойствами.

Емкостной потенциал есть наибольший потенциал Грина положительной меры на не превосходящий единицы (в силу принципа мажорирования). На он совпадает с решением задачи Дирихле для этого открытого множества с граничными значениями 0 на и 1 на К.

Емкость есть верхняя грань масс положительных мер, носитель которых содержится в К и потенциал Грина не превосходит единицы. Приведение и емкость обладают свойствами возрастания, непрерывности справа и сильной субаддитивности. Далее вводятся внутренняя и внешняя емкости и доказывается, что обращение в нуль внешней емкости означает, что множество является полярным.

Задача о равновесном потенциале. Так называется задача об отыскании на неполярном (т. е. имеющем строго положительную емкость) компактном множестве положительной меры такой, что

1) , где число дано;

2) потенциал Грина принимает квазивсюду на К одно и то же постоянное значение;

3) потенциал Грина ограничен или только сужение меры на любое полярное множество равно нулю.

Существует единственное решение этой задачи, пропорциональное емкостному распределению.

В самом деле, мера удовлетворяет условиям задачи. Кроме того, согласно требованию равенства постоянных значений на К для двух решений имеем

Тождество вытекает теперь из принципа мажорирования.

Отметим, что равновесное распределение удовлетворяет условию где У — постоянное значение потенциала квазивсюду на Отсюда можно непосредственно перейти к случаю при

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)