§ 5. Устранимые множества на границе
Пусть
ограниченное открытое множество пространства
Часть
границы
называется устранимой для
если она имеет
меру нуль, какова бы ни была точка
Критерий. Для того чтобы часть
границы
была устранимой для
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая положительная супергармоническая функция
на
что
для всех точек
Обозначим через
характеристическую функцию множества
Множество
устранимо тогда и только тогда, когда
Предположим сначала, что
связно, и пусть
— такая последовательность чисел
что
Рассмотрим точку
Если
то для любого индекса
существует такая функция
что
Так как
для любой точки
имеем
Таким образом,
конечная в точке
положительная супергармоническая функция на
Пусть
тогда для любого индекса
имеем
следовательно,
Условие теоремы необходимо.
Наоборот, это условие достаточно, так как если такая функция
существует, то
при любом
следовательно,
Таким образом,
обращается в нуль во всех тех точках
где
конечна, т. е. почти всюду. Следовательно,
В том случае, когда множество
не является связным, пусть
последовательность его связных компонент. Если множество
устранимо, то для всех индексов
существует такая положительная супергармоническая функция
на
, что
для