§ 3. Энергия мер произвольного знака

Рассмотрим множество мер представимых в виде разности — где Потенциал такой меры определен не везде.

Взаимная энергия двух таких мер определяется как интеграл имеющий значение

Это значение не зависит от вида разбиения

Энергией меры называется, по определению, число

Таким образом, энергия всегда положительна (произвольные ядра с этим свойством называются ядрами положительного типа); мы снова полагаем

Отсюда для мер из и произвольных действительных чисел а и вытекает неравенство

Следовательно,

уже без ограничений на знак

Теорема. Для любой меры условие равносильно тождеству

Это свойство в соединении с условием положительности энергии называется принципом энергии.

Если то Наоборот, если то для любой меры имеем а следовательно, Это справедливо, в частности, для мер ассоциированных с переносами функции Следовательно, для разбиения имеем

где функции образуют положительно обильное семейство. Отсюда

На основании доказанного заключаем, что есть предгильбертово векторное пространство со скалярным произведением и нормой