§ 2. Классический принцип Дирихле

Теорема. Пусть ограниченная функция из определенная на ограниченном открытом множестве и допускающая конечное и непрерывное продолжение на (это продолжение будет обозначаться через Гармоническая функция и из минимизирующая норму т. е. проекция на есть

Если, кроме того, все точки границы регулярны, то есть единственная функция] из с минимальной нормой, имеющая в каждой точке то же предельное значение, что и

1) Предположим сначала, что множество «вполне регулярно», т. е. совпадает с внутренностью своего замыкания и его граница в окрестности каждой своей точки определяется при помощи дважды непрерывно дифференцируемой функции, выражающей одну из координат через остальные. Кроме того, предположим, что функция допускает дважды непрерывно дифференцируемое продолжение в некоторую открытую окрестность множества

Наши предположения регулярности обеспечивают включение (см. гл. I, § 8), и остается доказать, что разность ортогональна в подпространству гармонических функций из . В этом можно убедиться, построив функцию с компактным носителем, такую, что где произвольно малое число, так как обладает свойством ортогональности. Чтобы избежать некоторых длиннот при оформлении этого доказательства, мы приведем другое рассуждение. Пусть строго положительная дважды непрерывно дифференцируемая функция на причем ее предельные значения на равны нулю и ее первые производные имеют конечные предельные значения; предположим еще, что производная от V по направлению внутренней

нормали всюду на строго положительна. Такую функцию можно получить, регуляризируя функцию Грина в окрестности полюса х. Покажем, что V ортогональна к В самом деле, согласно теореме о неявных функциях, открытое множество при достаточно малом вполне регулярно. Следовательно, для него можно написать формулу Грина с функциями V и

Так как на отсюда получаем

и

Согласно сделанным предположениям о функция обладает теми же свойствами, что и V, если только число выбрано достаточно большим так, чтобы производная по направлению внутренней нормали на была строго больше нуля. Таким образом, для всех

2) Изучим теперь случай, когда множество вполне регулярно, но функция допускает продолжение, только один раз непрерывно дифференцируемое на открытом множестве При помощи усреднения или свертки можно построить последовательность дважды непрерывно дифференцируемых функций на открытом множестве сужения которых на принадлежат равномерно сходящуюся к внутри и такую, что последовательность градиентов сходится к также равномерно внутри Тогда сходятся к в пространстве а поскольку есть проекция на функции сходятся в к проекции на Но так как на сходятся равномерно к функции равномерно сходятся к и предел также

равен Следовательно, проекция на есть

3) Пусть, наконец, выполняются предположения, указанные в формулировке теоремы, и возрастающее покрытие вполне регулярными открытыми множествами Справедливы следующие утверждения.

а) Решения сходятся к вместе с производными равномерно внутри

Функция т. е. норма конечна. В самом деле, продолжая значением 0, получаем функции, сходящиеся к откуда

Но так как получаем

Нормы сходятся к Прежде всего, общее правило перехода к пределу под знаком интеграла дает

Теперь достаточно убедиться в том, что не может быть строгого неравенства

Если бы это последнее неравенство имело место, то существовали бы сколь угодно большие такие, что

а следовательно, и такие, что Мы получили противоречие с минимизирующим свойством

б) Функция и минимизирующая. В противном случае существовала бы функция такая, что а следовательно, для достаточно больших

Полученное неравенство противоречит минимизирующему свойству

Таким образом, проекцией на является

В заключение используем предположение, что все граничные точки регулярны. Пусть множество функций из принимающих те же значения, что Для любой функции решение есть проекция на и Если то, как уже указывалось,

Эта характеризация как функции, имеющей минимальную норму среди функций означает (с точностью до эквивалентности), что является проекцией нуля на

Замечание 1. откуда и Недействительно, следовательно, достаточно доказать, что произвольно) для подходящего компактного множества К и достаточно больших Но

откуда

Замечание 2. Тривиальное видоизменение рассуждений позволяет перейти от при если стремится к в бесконечности и заменяется константой

Обобщение. Несколько усовершенствовав это рассуждение, можно прийти к следующему результату.

Пусть ограниченная на функция из имеющая предельное значение в каждой точке принадлежащей дополнению некоторой части гармонической меры нуль. Пусть некоторое продолжение на функции определенной на части Тогда есть единственная гармоническая функция из минимизирующая норму и единственная функция из

минимальной нормы среди тех функций, которые имеют на границе те же предельные значения, что почти всюду в смысле гармонической меры.