§ 2. Применение обыкновенного лапласиана

7. Гармонические полиномы. Если гармонический полином представлен в виде суммы однородных полиномов где полином имеет степень то каждое слагаемое в этой сумме есть гармонический полином. Это очевидно для или члены суммы являются однородными полиномами различных степеней, и, следовательно, все они тождественно равны нулю, если

Итак, мы можем ограничиться изучением однородных гармонических полиномов. Пусть Записывая условие гармоничности полинома

получаем, что член с в имеет коэффициент

Приравнивая нулю все эти коэффициенты для получаем уравнений с неизвестными Заметим, что левые части этих уравнений являются независимыми линейными формами. Достаточно показать, что уравнения, получаемые приравниванием этих левых частей произвольным числам, всегда разрешимы. Полагая последовательно получаем остальные коэффициенты из уравнений с одним неизвестным. Таким образом, все коэффициенты гармонического полинома получаются в виде линейных однородных функций двух из них.

Полином имеет вид причем всегда имеет члены, которых нет в полиномы линейно независимы, т. е. их линейная комбинация может быть тождественно равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю. Наоборот, составляя линейную комбинацию двух линейно независимых гармонических полиномов данной степени, всегда получаем гармонический полином общего вида.

Эти два линейно независимых полинома легко получить, если заметить, что; комплексная функция гармонична. Действительно, ее вторые производные по х и у соответственно равны

и Искомые полиномы получаются, если отделить действительную и мнимую части в полярных координатах эти полиномы имеют вид Следовательно, всякий полином и всякий степенной ряд в круге его сходимости по являются гармоническими функциями, поскольку равномерная сходимость сохраняет гармоничность.

8. Лапласиан в полярных координатах. Фундаментальная гармоническая функция. В полярных координатах выражение лапласиана имеет вид

Если и зависит только от то легко находим

Приравнивая это выражение нулю и решая получающееся дифференциальное уравнение, получаем гармонические функции, зависящие только от

где постоянные. По аналогии со случаем пространства более удобна функция при она называется фундаментальной гармонической функцией.

9. Применения формул Грина. В открытом множестве определения гармонической функции и рассмотрим область , допускающую применение формул Грина. Поток и через границу равен нулю.

Применение. Если и — гармоническая функция в кольце с центром О, то

где окружность с центром радиуса Отсюда

и

Среднее значение функции и на окружности есть линейная функция от или

Упражнение. Пусть — открытая окрестность точки некоторой достаточно регулярной кривой. Если функция с непрерывным градиентом в гармонична по каждую сторону от кривой, то она гармонична в .

Пусть окружим малым кругом с окружностью у и рассмотрим область Применяя формулу Грина (4) к этой области и к гармоническим функциям получаем

где производные берутся по направлению внутренней нормали для области Второй интеграл преобразуется следующим образом:

Отсюда получаем

10. Оценка производных гармонических функций. Пусть функция зависит от параметра и имеет непрерывные производные третьего порядка по Если и гармонична по то гармонична и потому что

Точно так же, все частные производные функции и по х и у являются гармоническими функциями. Отсюда можно получить оценки производных.

Пусть — гармоническая функция на открытом множестве точка и замкнутый круг с границей у содержатся в Так как получаем

Следовательно,

где Полагая и обозначая через расстояние точки до границы, имеем

Этот результат Можно несколько улучшить для действительной функции и, применяя предыдущую оценку к функции где Получаем

и

Отсюда еще раз находим, что если — гармоническая функция, ограниченная во всей плоскости, то