§ 5. Непрерывность потенциала на носителе масс

Следующий результат, принадлежащий Эвансу и Василеско ( весьма важен. В общей теории потенциала (см. гл. VI) он является почти аксиомой.

Теорема. Пусть положительная мера с компактным носителем Если сужение V потенциала на К непрерывно в точке непрерывен в точке (в пространстве).

Утверждение очевидно, если Если то для доказательства используется следующая лемма.

Лемма. Пусть положительная мера с компактным носителем Пусть произвольная точка ближайшая к х точка Тогда при имеем

В самом деле, для любой точки имеем Следовательно, а отсюда интегрированием по получаем неравенство

В случае плоскости имеет место неравенство

Рассмотрим теперь точку в которой функция V конечна и непрерывна; предположим, например, что Пусть В — шар с центром Потенциал сужения в меры на С В непрерывен в В (это гармоническая функция). Пусть дано можно выбрать шар В настолько малым, чтобы потенциал сужения меры на В в точке был меньше Тогда существует такой шар

В с центром что потенциал сужения на В меньше в каждой точке у множества (непрерывность V).

Пусть произвольная точка и у — ближайшая к х точка из неравенства вытекает, что

Следовательно, если точка х достаточно близка к то у принадлежит В и, согласно лемме, потенциал сужения меры на В в точке х меньше Из неравенства

теперь вытекает, что потенциал непрерывен в точке

В случае плоскости доказательство проводится аналогично.