Глава IV. КЛАССИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

§ 1. Определение

Напомним определение фундаментальной супергармонической функции в пространстве (ср. гл. III, § 4):

Через обозначим функцию ради краткости, через функцию

Пусть дана мера на потенциалом меры называется функция (не всегда определенная на всем

Для фундаментальная функция положительна. В случае плоскости можно перейти к положительной фундаментальной функции, если рассматривается мера с компактным носителем: фундаментальная функция полунепрерывна снизу, а следовательно, ограничена снизу на носителе меры а.

Свойство. Потенциал положительной меры с компактным носителем всюду определен и является супергармонической функцией.

Для каждого натурального числа положим есть непрерывная супергармоническая функция от х. Далее, есть непрерывная супергармоническая функция, так как мера положительна. Имеем а значит, возрастающая последовательность сходится к потенциалу Отсюда следует, что

супергармоническая в широком смысле функция [гл. II, § 1, свойство Кроме того, непосредственно видно, что конечная гармоническая функция в дополнении к носителю меры следовательно, есть супергармоническая функция.

Обобщение. Доказанное свойство остается в силе для положительной меры с некомпактным носителем, если потенциал хотя бы в одной точке существует и конечен.

Рассмотрим сначала случай Пусть В — замкнутый шар в пространстве согласно предыдущему, потенциал содержащихся в В масс всюду определен и является супергармонической функцией. Относительно потенциала масс, находящихся вне В, можно сделать только два предположения: если он бесконечен в какой-либо точке то он бесконечен всюду; в противном случае этот потенциал есть функция, гармоническая в В. Таким образом, потенциал меры в В либо является, супергармонической функцией, либо тождественно равен

Рассуждение нужно немного изменить в случае плоскости, так как фундаментальная функция тогда принимает отрицательные значения. Достаточно отделить ее положительную и отрицательную части. Мы не останавливаемся на этом, так как в дальнейшем будем рассматривать вопрос с локальной точки зрения и заменим фундаментальную функцию всюду положительной функцией Грина.