Глава XII. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ГРАНИЦА МАРТИНА

1. Граница Мартина

С давних пор изучался интеграл, получаемый заменой в интеграле Пуассона функции или, точнее, меры с плотностью произвольной мерой на сфере. Было доказано, что таким путем получается функция более общего вида, представимая в виде разности двух положительных гармонических функций (см. в дополнительной библиографии работу Анже).

Мартин распространил это интегральное представление на положительные гармонические функции в произвольных областях (но, например, ограниченных в случае пространства Он использовал не только соответствующее ядро, но и интегрирование по специально построенной идеальной границе, которая в случае шара отождествляется со сферой. Это и есть граница Мартина; она будет кратко описана далее аксиоматическим методом. Мы будем рассматривать случай ограниченной области и дадим только общее представление об этом круге вопросов.

Теорема. Существует единственное с точностью до гомеоморфизма компактное пространство обладающее следующими свойствами.

1) Пространство имеет всюду плотную часть гомеоморфную Отождествим и назовем границей Мартина:

2) Пусть фиксированная точка из положим для точек функция Грина области Для любых точек функция имеет предел

Этот предел есть гармоническая функция от у

3) Отображение ставящее в соответствие каждой точке гармоническую функцию от взаимно однозначно.

Пространство метризуемо и не зависит от выбора точки

Легко доказать единственность. Если существуют два пространства то всякий фильтр на сходящийся в к точке должен сходиться к некоторой точке границы . В противном случае на существовали бы два фильтра более слабые чем и сходящиеся соответственно к двум различным точкам границы Применяя условия 2) и 3) к получаем, что функция К. от х для каждого сходится по этим двум фильтрам к числам, определяющим функции и от у на Эти функции различны, так как различны точки и V, что противоречит, однако, сходимости по фильтру на Следовательно, между имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее предельные соотношения. В силу регулярности компактных пространств тождественное отображение продолжается до. гомеоморфизма на

Перейдем к доказательству существования. Пусть а — компактная окрестность точки — фиксированное открытое множество, такое, что Для точек введем функцию Эта функция обладает свойствами расстояния, так как обращение ее в нуль означает равенство и в а, отсюда вытекает тождество гармонических продолжений, а следовательно, и совпадение точек Это расстояние на а согласуется с топологией таким образом, его можно продолжить на Пусть пополнение когда точка стремится к точке функция стремится на а, а следовательно, и на к некоторой функции, которую мы обозначим

Вследствие локальной компактности положительных гармонических функций пространство компактно и отвечает всем поставленным условиям. Отметим, что функция непрерывна на