§ 6. Преобразования пространства

Пусть два компактных множества в пространстве Если положительная мера на некоторое (х-измеримое отображение то через обозначим образ определяемый для борелевских множеств равенством

а) Если сжимающее отображение, то для любой точки

б) Предположим, что для любой неподвижной точки у, т. е. такой, что , неравенство

выполняется, какова бы ни была точка Тогда для имеем

а для

Частным случаем отображения типа б) является борелевская проекция множества на т. е. борелевское

отображение, которое точке ставит в соответствие ближайшую к х точку Такое отображение всегда существует, согласно Шоке. Заметим, что это очевидно, если выпуклое множество (например, линейное многообразие), так как в этом случае существует единственная ближайшая точка; при этом проекция является сжимающим отображением. Доказательство проводится также элементарно, если образовано, например, из конечного числа замкнутых шаров.

Примером отображения со свойством а) является сжатие плоскости в полупрямую, т. е. отображение, которое точке с полярными координатами и 0 ставит в соответствие точку с координатами и 0. Если V — образ положительной меры с компактным носителем при отображении то для всех х имеем

Применения. 1) Борелевская сжимающая проекция полярного множества дает полярное множество.

2) Пусть ограниченное полярное множество и положительная мера с компактным носителем, потенциал которой равен на Построив борелевскую проекцию компактного носителя на получим в качестве образа меры меру, распределенную на потенциал которой равен на . В случае компактного множества этот результат был получен Эвансом. С другой стороны, Шоке доказал, что если есть множество точек бесконечности некоторого потенциала (т. е. по терминологии, введенной Дени, есть полярное

множество типа то существует положительная мера на потенциал которой равен в каждой точке из и конечен в (см. библиографию).

Замечание. Из результата Эванса следует, что если положительная мера распределена на компактном полярном множестве то ее потенциал неограничен на Действительно, если и ограничен на положительная мера на потенциал которой бесконечен в каждой точке то

а это приводит к противоречию.

Отсюда вытекает, хотя бы в одной точке из В противном случае пусть сужение меры на компактное подмножество где Потенциал должен быть тогда ограничен на замкнутом полярном носителе меры откуда следует, что

Следствие. Если для положительной меры некоторое полярное множество имеет внутреннюю строго положительную меру, то потенциал принимает значение хотя бы в одной точке этого множества,

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)