§ 5. Последовательные разности

Пусть - компактные множества пространства . Положим

и, далее,

Если для любого компактного множества то для в частности, получаем

Следовательно, если для любых компактных множеств то для всех и для любых компактных множеств

Первая аксиома о возрастании емкости равносильна, очевидно, следующему утверждению: для любых компактных множеств выполняется неравенство

Докажем, что объединение аксиом 1 и 3 (возрастания и сильной субаддитивности) равносильно следующему утверждению: для любых компактных множеств выполняется неравенство

Если аксиома 3 выполняется, то, заменяя X на и У на получаем

то есть

Если, кроме того, выполняется аксиома 1, то мы имеем откуда

и, следовательно,

Наоборот, предположим, что для любых компактных множеств т. е.

Если данные компактные множества, то, полагая получаем

Аксиома 3 выполняется. Кроме того, из нашего предположения вытекает, что для любых компактных множеств а это равносильно аксиоме 1.

Таким образом, систему аксиом 1, 2, 3, приведенных выше, можно заменить следующей равносильной системой.

а) Аксиома 2 непрерывности справа.

Неравенство выполняется для любых компактных множеств

Более сильную систему аксиом можно получить, заменяя аксиомы 1 и 3 следующим утверждением: неравенство выполняется для любых компактных множеств при фиксированном Действительно, неравенство влечет за собой неравенства для всех

Емкость 6, удовлетворяющая аксиоме непрерывности справа и условию называется альтернированной емкостью порядка Если альтернированная емкость порядка при любом натуральном то называется альтернированной емкостью бесконечного порядка. Именно этим свойством обладают примеры, приведенные в конце § 4.

Другая форма аксиомы с неравенством. Следующие два утверждения равносильны:

а) неравенство выполняется для любых компактных множеств

б) для любых компактных множеств выполняется неравенство

или

В самом деле, условие а) можно переписать так:

откуда, полагая получаем

Наоборот, если это последнее неравенство справедливо для любых компактных множеств и , то, полагая получаем

Применение. Из аксиомы вытекает следующее утверждение: для любых конечных семейств компактных множеств и таких, что для всех выполняется неравенство

или

В самом деле, если сначала взять то, согласно предыдущему,

откуда искомый результат получается путем сложения.

Общее неравенство можно доказать методом индукции, предполагая, что оно выполняется для и рассматривая множества