§ 2. Топологическая лемма (Шоке)

Пусть топологическое пространство со счетным базисом и семейство числовых функций, определенных на Существует счетная часть множества индексов I, такая, что из утверждения, есть полунепрерывная снизу функция и вытекает, что

Для каждой части множества положим Используя возрастающий гомеоморфизм пространства на отрезок можно ограничиться случаем, когда все рассматриваемые функции принимают значения из отрезка

Существует последовательность открытых множеств из образующих топологический базис, такая, что для каждого можно найти бесконечно много индексов для которых например, можно взять счетный базис, расположенный в виде последовательности и построить последовательность

Для каждого натурального числа существует такой индекс что

В самом деле, существует такая точка , что

и такой индекс что

Пусть - множество этих индексов. Рассмотрим полунепрерывную снизу числовую функцию удовлетворяющую условию

Пусть дано какова, бы ни была точка х, существует такая окрестность что из включения следует неравенство Следовательно, существуют такие открытые множества сор рассматриваемого базиса со сколь угодно большими индексами (в силу

условий, наложенных на последовательность что из включения следует неравенство Но, согласно условию (2), а значит, в силу (1),

Таким образом, здесь можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялось неравенство Существует, следовательно, такое число что Так так произвольно, лемма доказана.

Назовем функцию нижней регуляризацией функции Лемма утверждает, что

Применение. В пространстве со счетным базисом доказанная лемма позволяет переходить от семейств функций к последовательностям.

В частности, если семейство функций, гармонических в некоторой области пространства фильтрующееся влево, то существует невозрастающая подпоследовательность пределомкоторой является опираясь только на сходимость последовательностей, можно показать, что функция либо гармоническая, либо тождественно равна — (см. приложение).

Имеем согласно лемме, отсюда Таким образом, нижняя огибающая рассматриваемого семейства либо гармоническая функция, либо тождественно равна —