§ 3. Супергармонические функции
Теорема. Супергармоническая в широком смысле функция и в области 
пространства 
или тождественно равна 
или почти всюду конечна и локально суммируема (тогда она называется супергармонической).
Множество точек 
, в окрестности которых функция и суммируема, открыто. Покажем, что его дополнение также обладает этим свойством. Если и не суммируема ни в какой окрестности точки 
то интеграл от и по любой окрестности 
равен 
(поскольку и полунепрерывна снизу и 
. Таким образом, 
для любого замкнутого шара 
лежащего в 
Открытый шар 
является такой окрестностью точки 
для каждой точки х которой существует замкнутый шар 
лежащий в со и содержащий 
внутри. Следовательно, интеграл от и по окрестности 
точки 
равен 
Таким образом, функция и равна 
в шаре 
а значит, не суммируема ни в какой окрестности любой точки этого шара. Отсюда следует, что множество точек 
в окрестности которых функция и не суммируема, открыто и содержится в множестве точек, в которых 
Так как область 
связна, отсюда заключаем, что функция и или локально суммируема, или всюду равна 
Если и локально суммируема, то множество точек, в которых она принимает значение 
очевидно, имеет меру нуль.
Применение. Супергармоническую функцию и на открытом множестве со можно охарактеризовать как
полунепрерывную снизу функцию, удовлетворяющую одному из следующих условий:
а) и локально суммируема, и неравенство
выполняется для каждого замкнутого шара 
или только для тех шаров, радиусы которых достаточно малы в каждой точке х;
б) на каждый сфере 
или только на тех сферах, радиусы которых достаточно малы в каждой точке х, и суммируема и выполняется неравенство
