§ 3. Супергармонические функции

Теорема. Супергармоническая в широком смысле функция и в области пространства или тождественно равна или почти всюду конечна и локально суммируема (тогда она называется супергармонической).

Множество точек , в окрестности которых функция и суммируема, открыто. Покажем, что его дополнение также обладает этим свойством. Если и не суммируема ни в какой окрестности точки то интеграл от и по любой окрестности равен (поскольку и полунепрерывна снизу и . Таким образом, для любого замкнутого шара лежащего в Открытый шар является такой окрестностью точки для каждой точки х которой существует замкнутый шар лежащий в со и содержащий внутри. Следовательно, интеграл от и по окрестности точки равен

Таким образом, функция и равна в шаре а значит, не суммируема ни в какой окрестности любой точки этого шара. Отсюда следует, что множество точек в окрестности которых функция и не суммируема, открыто и содержится в множестве точек, в которых Так как область связна, отсюда заключаем, что функция и или локально суммируема, или всюду равна Если и локально суммируема, то множество точек, в которых она принимает значение очевидно, имеет меру нуль.

Применение. Супергармоническую функцию и на открытом множестве со можно охарактеризовать как

полунепрерывную снизу функцию, удовлетворяющую одному из следующих условий:

а) и локально суммируема, и неравенство

выполняется для каждого замкнутого шара или только для тех шаров, радиусы которых достаточно малы в каждой точке х;

б) на каждый сфере или только на тех сферах, радиусы которых достаточно малы в каждой точке х, и суммируема и выполняется неравенство