Предположим, что в каждой точке 
одновременно обращаются в нуль тогда и только тогда, когда 
это условие, очевидно, равносильно тому, что 
Отсюда вытекает локальная взаимная однозначность.
Изучим, как изменяется угол между направлениями, задаваемыми дифференциалами. Предположим, что двум ортогональным направлениям соответствуют два ортогональных направления. Векторам 
соответствуют векторы 
откуда
Рассматривая векторы 
и соответствующие им векторы
получаем
Итак, должны выполняться следующие условия:
Из соотношений (9) и (10), между прочим, следует, что любые два ортогональных направления переходят в ортогональные и что эти условия равносильны одному:
Производные 
не обращаются одновременно в нуль согласно нашей гипотезе; если же одна из этих производных равна нулю, то, согласно (10), производная другой функции по х равна нулю. Следовательно, полагая
получаем выражение, которое всегда определено одним из соотношений и непрерывно. Подставляя в (9), находим 
Итак, в рассматриваемой области имеем всюду 
или 
Следовательно, якобиан 
также имеет постоянный знак. Таким образом, возможны два случая:
В случае (I) преобразование дифференциалов соответствует вращению, сопровождаемому преобразованием подобия, причем сохраняются величины углов и направления их отсчета. В случае (II) общее преобразование равносильно преобразованию первого типа, сопровождаемому симметрией относительно оси 
имеет место сохранение величины углов, но направление отсчета меняется на противоположное.
Следовательно, рассмотренные выше преобразования, подчиненные условию сохранения углов любых пар ортогональных направлений (или только двух пар) в каждой точке области, необходимо принадлежат во всей области к одному из указанных двух видов. Они называются соответственно конформными преобразованиями I или II рода.
12. Кроме того, если у — окружность в 
то в силу (I) или (II)
Итак, в обоих случаях 
гармонические функции.
Пусть теперь функция 
имеет непрерывные вторые производные и при конформном преобразовании переходит в функцию 
Элементарное вычисление дает
то
Это свойство можно получить еще следующим образом. Пусть малый круг 
с центром 
имеет в качестве образа множество 
Тогда
Интегралы равны в силу локального подобия. Так как отношение площадей стремится к отношению 
получаем уже найденный результат.
В частности, при преобразованиях указанных двух типов гармоничность функции сохраняется.
плоскости 
в плоскость 
Тогда 
