§ 4. Перечень свойств сходимости и компактности для гармонических функций

Благодаря свойству равностепенной непрерывности (вытекающему из неравенств Гарнака) в вопросах сходимости действительных гармонических функций можно всегда опираться на равномерную сходимость.

Отсылая за подробностями к приложению, подчеркнем следующие свойства функций, гармонических в некоторой области со пространства

1) Локально ограниченное семейство гармонических функций равностепенно непрерывно в каждой точке области

2) Для семейства, локально ограниченного снизу, свойство 1) все еще справедливо в смысле равномерной структуры расширенной числовой прямой (для множества значений).

Следовательно, фильтрующееся вправо семейство гармонических функций сходится либо к гармонической функции, либо к (проще говоря, это вытекает из равномерной сходимости).

3) Снабдим пространство числовых функций (принимающих конечные или бесконечные значения), определенных в со, равномерной структурой компактной сходимости наделено равномерной структурой расширенной числовой прямой). В этом пространстве каждое множество гармонических функций, локально ограниченное снизу, относительно компактно. Множество, образованное из гармонических функций, мажорирующих данную конечную непрерывную функцию, и постоянной компактно (и, следовательно, метризуемо).