§ 8. Гармонические миноранты
Рассмотрим семейство 
супергармонических функций на открытом множестве 
пространства 
Если существует хотя бы одна субгармоническая функция, являющаяся минорантой для всех функций 
то верхняя огибающая 
субгармонических минорант семейства 
есть функция гармоническая и является наибольшей гармонической минорантой семейства 
В самом деле, для каждого замкнутого шара В, лежащего в 
и для каждой субгармонической миноранты 
семейства 
функция 
получаемая заменой 
интегралом 
(см. § 2), также является субгармонической минорантой 
Следовательно, 
совпадает в В с верхней огибающей семейства 
гармонических функций (поскольку это последнее семейство фильтруется вправо, как и все семейство 
субгармонических минорант. Так как функция 
отлична от 
она является гармонической (§ 2, 3, гл. I). Утверждение доказано.
В частности, если супергармоническая функция и на открытом множестве 
имеет хотя бы одну гармоническую миноранту, то она имеет и наибольшую гармоническую миноранту. Заметим, что в шаре 
наибольшей гармонической минорантой функции и является функция 
В самом деле, 
мажорирует каждую гармоническую миноранту в 
и 
есть гармоническая миноранта и.
Кроме того, интеграл 
при 
является также наибольшей гармонической минорантой функции и в 
[вследствие непрерывности 
по 
Вообще, пусть 
фильтрующееся упорядочение относительно компактных открытых множеств со, содержащихся в открытом множестве 
тогда наибольшая гармоническая миноранта 
функции и в 
есть предел по 
наибольших гармонических минорант 
функции и в 
Применение.
Теорема. Множество положительных гармонических функций на открытом множестве 
является решеткой по естественному порядку. Множество разностей двух положительных гармонических функций составляет вполне решетчатое пространство Рисса.
В самом деле, если 
положительные гармонические функции, тотем же свойством обладают их сумма 
и функция 0; первая из них мажорирует, а вторая минорирует 
следовательно, множество 
имеет наибольшую гармоническую миноранту и наименьшую гармоническую мажоранту.
Точно так же, пространство разностей положительных гармонических функций является вполне решетчатым, потому что любое множество положительных гармонических функций, мажорируемое гармонической функцией, имеет наименьшую гармоническую мажоранту.
