§ 7. Выметание относительно произвольного компактного множества

Пусть К — компактное множество пространства Множество мер носитель которых содержится в К, представляет собой полный выпуклый конус пространства . Действительно, очевидно, что это есть грубо замкнутый выпуклый конус, а следовательно, и замкнутый конус в (лемма 3); так как полно, также полно. Это свойство позволяет применить метод проекций.

Теорема. Пусть Проекция меры на характеризуется как единственная положительная мера на К, удовлетворяющая условиям:

почти всюду на К относительно любой меры . В самом деле, согласно свойствам проекций, для всех имеем

и

Неравенство показывает, что множество точек, в которых имеет А-меру нуль для всех противном случае приходим к противоречию, стягивая меру А, к указанному множеству. Это справедливо для и равенство теперь показывает, что множество точек, в которых имеет также -меру нуль. Следовательно, на существенном носителе меры и принцип мажорирования дает теперь неравенство всюду. Это и дает доказываемые свойства.

Наоборот, неравенство показывает, что Равенство почти всюду на К по -мере дает для всех Отсюда

Предполагая, что наша предыдущая теория выметания или экстремизации распространена на пространство , мы докажем следующую теорему, из которой непосредственно видно, что есть мера, полученная выметанием меры относительно компактного множества К.

Теорема. Для того чтобы борелевское множество имело К-меру нуль для всех необходимо и достаточно, чтобы оно было полярным множеством.

Достаточно рассмотреть случай компактного множества Если не является полярным множеством, то на существует ненулевая положительная мера потенциал которой ограничен. Следовательно, энергия конечна и

Наоборот, пусть мера такова, что

Тогда функция где постоянная, есть ненулевой потенциал конечной энергии

Описанное проектирование меры дает ненулевую меру потому что потенциал должен совпадать почти всюду на поскольку Так как множество не является полярным.

Если исходить из равномерного распределения на некоторой сфере, окружающей компактное множество, то посредством описанного проектирования мы получим, в частности, емкостное распределение.

А. Картану удалось развить описанную теорию выметания для произвольных множеств и положительных мер, не обязательно имеющих конечную энергию (причем даже без использования большой теоремы сходимости), однако его рассуждения довольно сложны.