почти всюду на К относительно любой меры
. В самом деле, согласно свойствам проекций, для всех
имеем
и
Неравенство показывает, что множество точек, в которых
имеет А-меру нуль для всех
противном случае приходим к противоречию, стягивая меру А, к указанному множеству. Это справедливо для
и равенство теперь показывает, что множество точек, в которых
имеет также
-меру нуль. Следовательно,
на существенном носителе меры
и принцип мажорирования дает теперь неравенство всюду. Это и дает доказываемые свойства.
Наоборот, неравенство
показывает, что
Равенство
почти всюду на К по
-мере дает
для всех Отсюда
Предполагая, что наша предыдущая теория выметания или экстремизации распространена на пространство
, мы докажем следующую теорему, из которой непосредственно видно, что
есть мера, полученная выметанием меры
относительно компактного множества К.
Теорема. Для того чтобы борелевское множество имело К-меру нуль для всех
необходимо и достаточно, чтобы оно было полярным множеством.
Достаточно рассмотреть случай компактного множества
Если
не является полярным множеством, то на
существует ненулевая положительная мера
потенциал которой ограничен. Следовательно, энергия
конечна и
Наоборот, пусть мера такова, что
Тогда функция
где
постоянная, есть ненулевой потенциал конечной энергии