Теорема. Точки разрежения некоторого множества 
образуют полярное множество.
Можно ограничиться случаем, когда 
содержится в ограниченном открытом множестве 
. Рассмотрим, согласно лемме, супергармоническую функцию 
на 
и разбиение 
где ту удовлетворяет условиям леммы. Если множество 
разрежено в точке 
то 
откуда
Таким образом, в тех точках 
где 
разрежено, 
и, следовательно, эти точки образуют полярное множество.
Замечания. 1) Точки, в которых 
образуют множество типа 
Поскольку всякое полярное множество содержится в полярном множестве типа 
множество теоремы представляет собой пересечение 
и некоторого полярного множества типа 
2) Теорему можно также доказать, применяя другой критерий разреженности (§ 3, замечание 1). При этом нужно использовать счетный базис открытых множеств 
и рассмотреть выметания 
с непрерывной функцией 
например равной константе.
Следствие. Для того чтобы некоторое множество было полярным, необходимо и достаточно, чтобы оно было разреженным в каждой своей точке.
существует конечная (и даже непрерывная) супергармоническая функция 
которая при любом выборе точки 
является суммой двух положительных супергармонических функций на 
причем одна из них, 
для любой окрестности V точки 
удовлетворяет условию
то достаточно рассмотреть ньютоновский потенциал меры Лебега на 
Он является суммой потенциалов меры Лебега в 
. В качестве 
можно взять первый потенциал. В случае 
к аналогичным логарифмическим потенциалам следует добавить подходящие константы, чтобы сделать их положительными.