Теорема. Точки разрежения некоторого множества
образуют полярное множество.
Можно ограничиться случаем, когда
содержится в ограниченном открытом множестве
. Рассмотрим, согласно лемме, супергармоническую функцию
на
и разбиение
где ту удовлетворяет условиям леммы. Если множество
разрежено в точке
то
откуда
Таким образом, в тех точках
где
разрежено,
и, следовательно, эти точки образуют полярное множество.
Замечания. 1) Точки, в которых
образуют множество типа
Поскольку всякое полярное множество содержится в полярном множестве типа
множество теоремы представляет собой пересечение
и некоторого полярного множества типа
2) Теорему можно также доказать, применяя другой критерий разреженности (§ 3, замечание 1). При этом нужно использовать счетный базис открытых множеств
и рассмотреть выметания
с непрерывной функцией
например равной константе.
Следствие. Для того чтобы некоторое множество было полярным, необходимо и достаточно, чтобы оно было разреженным в каждой своей точке.