§ 7. Поведение Hf в иррегулярной граничной точке х0, когда функция f разрешима

Согласно последней теореме гл. VII, в такой точке существует тонкий предел, когда а следовательно, также и тогда, когда ограничена снизу или сверху.

Случай конечной и непрерывной функции f. Тонкий предел представляет собой возрастающий линейный функционал от представимый в форме интеграла Радона

Кроме того, согласно Келдышу и Фростману, предельные значения заключены между

В самом деле (гл. VII, § 6, последняя теорема), в существует разреженное в точке множество, вне которого стремится к когда Расширим это множество до открытого множества разреженного в точке которую можно считать граничной точкой а. Пусть продолжение значениями тогда Отсюда видно, что нижний и верхний пределы функции на а в точке содержатся между пределами на , т. е. между

Следствие (теорема М. В. Келдыша). Существует такое счетное множество иррегулярных точек что если для всех то для любой точки

В самом деле, рассмотрим пространство конечных непрерывных функций на снабженное топологией равномерной сходимости. Множество линейных функционалов от вида

с индексом х, где иррегулярная точка, содержит счетное подмножество, относительно плотное в слабой топологии простой сходимости на Это следует из того, что рассматриваемое пространство функций сепарабельно. Соответствующие этому подмножеству точки х, отвечают условию теоремы, так как обращение в нуль разности для всех влечет за собой обращение в нуль разности для всех иррегуляренных точек х.

Замечание. Отметим еще без доказательства, что выметание относительно единичной массы, помещенной в граничной точке X, например, в некотором шаре, содержащем ничего не изменяет, если точка X регулярна, и дает меру если точка X иррегулярна. Кроме того, для любой разрешимой функции суммируемой в широком смысле, функция имеет в иррегулярной точке X тонкий предел в библиографии работу Брело, 1946).

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)

(см. скан)