§ 6. Поведение решения на границе

Наиболее естественное расширение классической задачи Дирихле состоит, прежде всего, в изучении поведения для конечной и непрерывной функции

Определение. Пусть ограниченная область пространства Граничная точка называется регулярной, если для любой конечной и непрерывной функции на

Разрешимость классической задачи Дирихле для всех равносильна регулярности всех граничных точек.

Первая задача состоит в оценке множества иррегулярных точек. Ответ дается следующей теоремой.

Теорема. Регулярные точки границы области это те точки, в которых дополнение не является разреженным.

Если точка регулярна, то строго положительная непрерывная субгармоническая функция минорирует гармоническую функцию, причем стремится к в точке Следовательно, дополнение не является разреженным в точке (гл. VII, § 5, теорема).

Наоборот, предположим, что дополнение не является разреженным в точке Если сужение на конечной и непрерывной супергармонической функции в шаре то из нашего предположения следует, что экстремизация относительно В равна

в точке Так как экстремизация непрерывна в и так как есть сужение на замечание 2), заключаем, что Переход к произвольной конечной и непрерывной функции можно произвести, опираясь на лемму 2 (§ 3).

Впрочем, достаточность условия теоремы еще более непосредственно получается из приводимой ниже общей теоремы, не зависящей от теоремы Винера и от аппроксимации по лемме 2; эта теорема опирается только на критерий разреженности замкнутых множеств (гл. VII, § 5).

Теорема. Если в точке дополнение не является разреженным, то для любой ограниченной сверху числовой функции на (конечной и непрерывной или нет) имеем

Если то число мажорирует в некоторой открытой окрестности V точки Пусть В — некоторый шар, содержащий строго положительная в супергармоническая функция, стремящаяся к 0 в здесь — замкнутая окрестность точки содержащаяся в Функция при достаточно большом а принадлежит следовательно, мажорирует откуда

Замечание 1. Из этой теоремы непосредственно получается, что если функция конечна и непрерывна, то квазивсюду на границе имеем откуда (разность мажорируется функцией в шаре В, ассоциированной с подходящим полярным множеством границы). Таким образом, здесь мы получаем доказательство теоремы Винера.

Замечание 2. Не используя понятия разреженности и теоремы сходимости, можно показать, что

регулярность равносильна существованию строго положительной супергармонической функции на в окрестности обращающейся в нуль в точке Доказательство значительно упрощается, если потребовать, чтобы эта функция была в точке строго меньше, чем ее нижняя грань вне любой окрестности точки такие функции называются барьерами.

Основное следствие. Множество иррегулярных граничных точек есть полярное множество (типа Это — основной результат Келлога и Эванса (см. в библиографии работу Эванса, 1933).

Замечание. Иррегулярная граничная точка открытого множества является иррегулярной граничной точкой для одной и только одной связной компоненты (см. гл. VII, § 5, замечание 2).

Отметим, что из теории разреженности можно получить все многочисленные достаточные условия регулярности, а стало быть и разрешимости классической задачи Дирихле, так как последняя требует регулярности всех граничных точек. Упомянем здесь условие Пуанкаре, состоящее в том, что в окрестности точки в должен содержаться конус с вершиной и непустой внутренностью.