Глава VIII. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Rn
§ 1. Определение функции ...
Метод, которым мы будем пользоваться в этой главе, имеет своим источником работу Перрона 1923 г. В основе этого метода лежит идея аппроксимации, которую можно найти уже у Пеано (
применившего ее для изучения обыкновенного дифференциального уравнения
Каждому начальному значению
неизвестной функции у сопоставляется семейство
таких функций у, что
и
и семейство
таких функций z, что
Далее следует рассмотреть функции
дающие интегралы данного уравнения с начальным значением
Такой же метод мы применим для решения задачи Дирихле на открытом множестве
пространства
вместо указанных функций у и
мы будем использовать соответственно субгармонические и супергармонические функции, удовлетворяющие определенным граничным условиям.
Мы будем рассматривать здесь ограниченное открытое множество
пространства
Пусть
(конечная или нет) числовая функция, определенная на границе
Обозначим через
или просто через
множество супергармонических в широком смысле функций
на
ограниченных снизу и таких, что для каждой точки
имеем
Положим
Точно так же можно рассматривать семейство
субгармонических в широком смысле функций и, ограниченных сверху и Таких, что для