Глава VIII. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Rn

§ 1. Определение функции ...

Метод, которым мы будем пользоваться в этой главе, имеет своим источником работу Перрона 1923 г. В основе этого метода лежит идея аппроксимации, которую можно найти уже у Пеано ( применившего ее для изучения обыкновенного дифференциального уравнения Каждому начальному значению неизвестной функции у сопоставляется семейство таких функций у, что и и семейство таких функций z, что Далее следует рассмотреть функции дающие интегралы данного уравнения с начальным значением

Такой же метод мы применим для решения задачи Дирихле на открытом множестве пространства вместо указанных функций у и мы будем использовать соответственно субгармонические и супергармонические функции, удовлетворяющие определенным граничным условиям.

Мы будем рассматривать здесь ограниченное открытое множество пространства Пусть (конечная или нет) числовая функция, определенная на границе Обозначим через или просто через множество супергармонических в широком смысле функций на ограниченных снизу и таких, что для каждой точки имеем

Положим Точно так же можно рассматривать семейство субгармонических в широком смысле функций и, ограниченных сверху и Таких, что для

каждого имеем

Положив получим

Замечание 1. Если — некоторая связная компонента множества то в имеем так как всякая супергармоническая функция из семейства продолженная значением дает функцию из

Замечание 2. Пусть положительная супергармоническая функция на открытом множестве сужение на Тогда равна в экстремизации (определенной в так как если то функция продолженная на значениями является положительной супергармонической в