Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Принцип минимума (или максимума)
Пусть и — гармоническая функция на открытом множестве со евклидова пространства 
(компактификация 
получаемая присоединением точки Александрова, обозначается через 
Тогда имеем
где да обозначает границу множества 
в 
Принцип максимума получаем, заменяя 
на 
на 
Эти утверждения вытекают из следующей леммы.
Лемма. Пусть и — полунепрерывная снизу числовая функция, определенная на открытом множестве компактного связного пространства 
допустим, что из утверждения: и имеет отрицательный минимум в точке х следует, что и постоянна в некоторой окрестности х, какова бы ни была точка 
Тогда если 
для всех точек 
границы 
, то и 
Для доказательства построим продолжение и функции и на все пространство 
положив 
в точках 
не принадлежащих 
. Функция и полунепрерывна снизу на 
следовательно, достигает своего наименьшего значения 
Если 
то множество А (соответственно В) тех точек 
в которых 
(соответственно, в которых 
есть непустое открытое множество. Так как 
связно и 
приходим к противоречию. Следовательно, 
