Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Принцип минимума (или максимума)
Пусть и — гармоническая функция на открытом множестве со евклидова пространства
(компактификация
получаемая присоединением точки Александрова, обозначается через
Тогда имеем
где да обозначает границу множества
в
Принцип максимума получаем, заменяя
на
на
Эти утверждения вытекают из следующей леммы.
Лемма. Пусть и — полунепрерывная снизу числовая функция, определенная на открытом множестве компактного связного пространства
допустим, что из утверждения: и имеет отрицательный минимум в точке х следует, что и постоянна в некоторой окрестности х, какова бы ни была точка
Тогда если
для всех точек
границы
, то и
Для доказательства построим продолжение и функции и на все пространство
положив
в точках
не принадлежащих
. Функция и полунепрерывна снизу на
следовательно, достигает своего наименьшего значения
Если
то множество А (соответственно В) тех точек
в которых
(соответственно, в которых
есть непустое открытое множество. Так как
связно и
приходим к противоречию. Следовательно,