§ 3. Функции типа BLD
Естественно желание пополнить нормированное пространство Эта операция приводит, однако, к функциям, недостаточно определенным для успешного использования их в теории потенциала. Поэтому, уточняя функции, рассматривавшиеся Беппо Леви и Никодимом, Дени ввел функции, названные уточненными функциями типа 
или функциями типа 
Так называется функция 
определенная и конечная квазивсюду на 
и являющаяся квазивсюду пределом последовательности Коши по норме Дирихле 
функций 
из (их можно предполагать бесконечно дифференцируемыми). Доказывается, что 
имеет почти всюду градиент с суммируемым квадратом и 
по норме Дирихле. Классы эквивалентности этих функций, определяемые отношением равенства квазивсюду с точностью до константы, образуют гильбертово пространство с тем же скалярным произведением.
Что касается рассматриваемой в этой главе задачи, то отметим только, что предварительный принцип применяется немедленно и если 
типа 
на открытом множестве 
то 
существует, причем:
1) 
есть единственная гармоническая функция типа 
(всегда с точностью до константы), минимизирующая норму 
;
2) 
есть единственная гармоническая функция на 
продолжение которой значениями 
на 
будет типа 
Большое количество свойств и применений можно найти в литературе, указанной в библиографии.
С другой стороны, при аксиоматическом подходе норма Дирихле привела к определению и изучению Бёйрлингом и Дени пространств Дирихле, представляющих собой один из аксиоматических аспектов теории потенциала.
