§ 4. О роли границы Мартина
В случае шара пространство Мартина гомеоморфно его евклидову замыканию и то же самое имеет место для всех областей с достаточно регулярной евклидовой границей. Ясно, что в случае шара функция 
есть ядро Пуассона 
в центре), и, таким образом, интеграл Пуассона — Стильтьеса является частным случаем общего представления Мартина. Рассматривая, в частности, круг и подвергая его произвольному конформному преобразованию (сохраняющему К), мы видим, что совокупность простых концов границы в смысле Каратеодори односвязной плоской области совпадает с точностью до гомеоморфизма с границей Мартина; таким образом, граница Мартина является естественным обобщением граничных элементов Каратеодори.
Среди идеальных границ, получаемых, в частности, путем пополнения с использованием некоторой метрики, согласующейся с топологией, граница Мартина представляется наиболее удобной и наиболее применимой в качестве задающей границы как в теории потенциала; так и в других, связанных с этим, вопросах (аналитические функции на римановых поверхностях, функции типа 
Она позволяет построить обобщение задачи Дирихле, аналогичное тому, которое было сделано для евклидовой границы; как частный случай здесь получается представление Мартина (см. в библиографии работу Брело, 1956). Граница Мартина хорошо приспособлена для изучения граничного поведения положительных гармонических и супергармонических функций или даже функций типа 
путем введения понятий разреженности и тонкого предела на границе Мартина аналогично тому, как это сделано в классическом случае; здесь получаются результаты большей общности, чем в случае евклидовой границы общего вида, аналогичные классическим результатам для шара (см. в библиографии диссертацию Наим 1957 г. и работы Дуба). Так, отношение 
супергармонической функции 
и гармонической функции 
имеет тонкий предел почти всюду на границе в смысле канонической меры, ассоциированной с функцией h (Дуб).
БИБЛИОГРАФИЯ
(см. скан)
