§ 7. Семейства гармонических функций. Сходимость

19. Локально ограниченные семейства.

Теорема. Семейство гармонических функций и, равномерно локально ограниченных на открытом множестве равностепенно непрерывно в каждой точке следовательно, равностепенно непрерывно на всяком компактном множестве

Эту теорему можно получить из соотношений (17) или из оценки производных или, как это сделано ниже, из самого определения гармоничности. Пусть Тогда

При фиксированном пусть Имеем

откуда и следует утверждение теоремы, так как при

Следствия. Пусть последовательность равномерно локально ограниченных гармонических функций на Тогда

1) из обычной сходимости вытекает локально равномерная сходимость, и предельная функция является гармонической;

2) из последовательности можно извлечь локально равномерно сходящуюся (к гармонической функции) подпоследовательность.

В самом деле, пусть возрастающая последовательность относительно компактных открытых множеств сходящаяся к Из можно извлечь подпоследовательность равномерно сходящуюся на можно извлечь подпоследовательность равномерно сходящуюся на д. Диагональный процесс дает последовательность равномерно сходящуюся на всяком компактном подмножестве

Следствие. Из обычной сходимости равномерно локально ограниченной последовательности в окрестности некоторой точки вытекает, если множество связно, сходимость всюду.

Действительно, в противном случае можно было бы извлечь две подпоследовательности, сходящиеся к различным гармоническим функциям, совпадающим в окрестности некоторой точки.

Сходимость производных. Локально равномерная сходимость последовательности влечет за собой такую же сходимость последовательности производных от любого порядка к соответствующей производной от предельной функции.

Действительно, в круге например, мажорируется величиной где или даже

20. Семейство равномерно локально ограниченных снизу (или сверху) действительных функций в области.

Теорема. Верхняя огибающая семейства гармонических функций в области или всюду бесконечна, или локально ограничена и даже непрерывна. Нижняя огибающая или всюду равна нулю, или непрерывна и строго положительна.

Множества точек, в которых верхняя огибающая конечна или открыты, согласно неравенствам Гарнака. Эти же неравенства показывают, что если конечна в некоторой точке, то она ограничена в окрестности этой точки.

Докажем, что если конечна, то она непрерывна. Это легко выводится из равностепенной непрерывности или непосредственно из неравенств Гарнака. Между прочим, полунепрерывность снизу имеет место для верхней огибающей любого семейства непрерывных функций.

Для нижней огибающей рассуждение проводится аналогично.

Замечание. Согласно неравенствам Гарнака или неравенству (18), функции и равностепенно непрерывны в каждой точке. Следовательно, они равномерно ограничены на любом компактном множестве, если только они равномерно ограничены в одной из его точек. В этом случае огибающие непрерывны; отсюда можно вывести еще раз только что доказанную теорему.

Следствие. Для любой гармонической функции в области отношение значений и в двух произвольных точках компактного множества заключено между двумя строго положительными числами, не зависящими ни от и, ни от

Достаточно получить оценки для отношения и где точка фиксирована, или для всех строго положительных гармонических функций, равных 1 в точке Применяя к этим функциям доказанную теорему, получаем требуемый результат.

Обобщение теоремы. Верхняя огибающая семейства гармонических функций и в области равномерно ограниченных снизу в окрестности каждой точки, или равна всюду или конечна и - непрерывна.

Действительно, в любой относительно компактной подобласти со все функции и ограничены снизу одним и тем же числом и верхняя огибающая разности и в или равна или конечна и непрерывна.

Теоремы сходимости. Пусть последовательность гармонических функций, равномерно локально ограниченных снизу в области

Если эта последовательность ограничена в некоторой точке, то она локально ограничена в и для нее справедливы результаты

Если в некоторой точке то всюду, причем сходимость локально равномерна.

Действительно, пусть -компактное множество, — относительно компактная область содержащая и имеем Если то стремится к равномерно на согласно доказанному следствию.

Следствия. 1) Всякая возрастающая последовательность гармонических функций в некоторой области сходится (локально равномерно) или к или к гармонической функции.

2) Всякое семейство гармонических функций, равномерно локально ограниченных снизу в некоторой области, обладает следующим свойством: из любой последовательности функций этого семейства можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся (локально равномерно) или к или к гармонической функции. (Короче говоря, согласно Монтелю, это семейство является нормальным.)