§ 8. Емкостное распределение и энергия

Рассмотрим на компактном множестве такие меры что Они образуют непустое множество являющееся также (замкнутой) полной выпуклой частью Проекция нуля на есть положительная мера единственная при высказанных условиях на К и имеющая минимальную энергию.

Мы докажем, что есть равновесное распределение единичной массы на К, т. е. где есть емкостное распределение, и, следовательно, минимальная энергия единичных масс равна

В самом деле, известно, что мера получается выметанием относительно К массы равномерно распределенной на сфере поскольку именно эта масса дает потенциал 1 внутри Следовательно, согласно характеризации мера получается минимизацией выражения

При интеграл достигает минимального значения только при и это значение равно

Выражение (6) равно следовательно, оно достигает минимума при при Таким образом, меры пропорциональны и утверждение доказано.

Следствие. Емкостное распределение есть единственное распределение массы на К, потенциал которого не превосходит единицы.

Действительно, если такое распределение, то мера имеет энергию

Здесь возможен только знак равенства, и, следовательно, имеет место тождество