§ 6. Внутренняя емкость множества

Пусть А — некоторая часть пространства Внутренней емкостью множества А называется верхняя грань емкостей компактных множеств К, содержащихся в Для любого компактного множества К справедливо равенство

Лемма. Пусть открытые множества и Некомпактное множество, содержащееся в объединении Тогда существуют компактные множества такие, что

В самом деле, множества замкнуты и не пересекаются; в нормальном пространстве К они имеют непересекающиеся открытые окрестности Тогда компактные множества — отвечают условиям леммы.

Свойства. Для произвольных конечных семейств открытых множеств таких, что для всех выполняется неравенство

причем рассматриваемые емкости могут быть равны

Пусть произвольные конечные числа, меньшие соответственно, чем Выберем компактные множества содержащиеся соответственно в так, чтобы удовлетворялись неравенства

Согласно лемме, эти множества можно увеличить таким образом, чтобы при тех же обозначениях выполнялись соотношения Из неравенства

теперь вытекает, что

откуда и следует доказываемое неравенство.

Общий случай получается методом индукции: предполагаем, что неравенство выполняется для и составляем уже доказанное неравенство для множеств Если емкость конечна, то то же самое имеет место для и неравенство для индексов получается при почленном сложении двух указанных неравенств и упрощении. В противном случае сумма бесконечна и то же самое имеет место для следовательно, доказываемое неравенство выполняется.