§ 5. Норма Дирихле и теорема полноты

Рассмотрим векторное пространство числовых функций, конечных и непрерывных на открытом множестве пространства которые имеют конечный и непрерывный градиент с суммируемым квадратом в

Для каждой функции полагаем

(dx - мера Лебега). Легко видеть, что есть полунорма в соответствующая скалярному полупроизведению Равенство

равносильно утверждению, что функция и постоянна на каждой связной компоненте Мы будем также рассматривать соответствующее отделимое пространство классов эквивалентности функций из совпадающих с точностью до константы на каждой связной компоненте множества с соответствующим скалярным произведением; есть действительное предгильбертово пространство, норма в котором называется нормой Дирихле. Для упрощения обозначений можно отождествлять функцию из с ее классом эквивалентности в

Для каждой измеримой части а с можно положить

Теорема. Пусть область пространства последовательность гармонических функций с конечной нормой Дирихле в т. е. последовательность гармонических функций из Если последовательность Коши если соотношение Игл выполняется равномерно по и существует такая точка что последовательность сходится, то последовательность сходится в пространстве и в смысле компактной сходимости на

В самом деле, если а — компактное подмножество области то

Так как разность есть функция гармоническая, легко показать, принимая за а шар постоянного радиуса с переменным центром, что эта разность локально равномерно стремится к нулю, когда (независимо от Имеет место, следовательно, локально равномерная сходимость производных откуда следует их локальная ограниченность и локальная равностепенная

непрерывность функций Рассматривая криволинейный интеграл, выражающий разность получаем, что функции сходятся локально равномерно к гармонической функции и

Покажем теперь, что последовательность сходится к и в пространстве т. е. покажем, что и

Во-первых, — гармоническая функция и интеграл

конечен, так как последовательность ограничена. Следовательно,

Пусть дано Существует такое целое число что для всех Существует также такое компактное множество что Следовательно, для всех имеем неравенства

Так как для всех справедливо неравенство и соотношение выполняется равномерно на компактном множестве К, можно написать

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что подпространство пространства состоящее из классов эквивалентности гармонических функций, имеющих конечную норму Дирихле, полно; оно является гильбертовым пространством.