§ 5. Аналитичность гармонических функций

15. Формула (5) дает локальное представление любой гармонической функции в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя. Мы уже видели, что любой потенциал двойного слоя есть сумма производных по х и по у от некоторых потенциалов простого слоя. Следовательно, для того чтобы доказать аналитичность гармонических функций, достаточно доказать аналитичность потенциала простого слоя такого, например, вида:

в окрестности точки не лежащей на замкнутой дуге у; здесь ограниченная непрерывная плотность.

Но, согласно теореме о подстановке ряда в ряд, выражение

для любой точки есть аналитическая функция от действительных переменных х и у в окрестности точки Говоря подробнее, следует рассмотреть разложение выражения

где

Таким образом, в степенной ряд

следует подставить выражение для X в виде полинома от Коэффициенты этого полинома мажорируются по модулю коэффициентами полинома

а следовательно, и коэффициентами, полинома

где — расстояние от до .

Отсюда следует, что если мы подставим в ряд по X выражение для X и для то получим два степенных ряда по из которых второй мажорирует первый. Если число достаточно мало, то при а значит, наши двойные ряды абсолютно сходятся при Поскольку коэффициенты (кроме первого) мажорирующего ряда не зависят от точки первый ряд, умноженный на можно интегрировать почленно по . В результате получим разложение в двойной ряд по для функции который будет сходиться при достаточно малых

Наше утверждение доказано, и оно распространяется, конечно, на

Замечание. Доказательство легко перестроить для интегралов где а — действительное число. Так как коэффициенты в разложении выражения вообще говоря, неположительны, используем ряд с тем же радиусом сходимости, получаемый заменой коэффициентов их модулями.

Такое же доказательство применимо для интеграла

В силу аналитичности гармоническая функция в области равная нулю в окрестности некоторой точки, тождественно равна нулю.

Аналитическая функция в гармоническая в окрестности некоторой точки, является гармонической во всей области так как аналитический лапласиан должен быть тождественно равен нулю.