§ 5. Основная теорема А. Картана

В предгильбертовом пространстве множество полно.

Мы выделим сначала несколько лемм.

Лемма 1. Пусть монотонная последовательность потенциалов положительных мер с конечной энергией, сходящаяся к потенциалу того же

вида. Тогда последовательность мер сильно сходится в пространстве к мере

Напомним, что если и - две положительные меры с конечной энергией, такие, что то (§ 4). Предположим, например, что последовательность возрастает. Для имеем

а следовательно,

то

Так как то, согласно замечанию, сделанному в начале доказательства, для всех Последовательность возрастает и ограничена; она, следовательно, является последовательностью Коши, а значит, есть последовательность Коши в пространстве

Кроме того, пусть Последовательность сходится к так как последовательность потенциалов возрастает, т. е. последовательность мер слабо сходится к Но так как есть последовательность Коши, она сильно сходится к

Лемма 2. Множество мер с компактным носителем из потенциалы которых конечны, непрерывны и имеют компактный носитель, всюду плотно в 6.

Мы докажем сначала, что множество мер с компактным носителем из плотно в . В самом деле, пусть для любого числа обозначим через сужение меры на шар Потенциал есть предел возрастающей последовательности Из леммы 1 теперь следует, что последовательность мер сильно сходится к в .

Любая мера с компактным носителем может быть сколь угодно точно аппроксимирована в мерой

того же типа, но с конечным и непрерывным потенциалом. Действительно, при помощи регуляризации потенциала гл. II, § 6) можно построить возрастающую последовательность конечных и непрерывных потенциалов, сходящуюся к

Наконец, пусть мера из имеет компактный носитель и конечный непрерывный потенциал; меру можно сколь угодно точно аппроксимировать в мерой из с компактным носителем и потенциалом из Для этой цели достаточно ввести функции равные вне шара и равные интегралу Пуассона от в Положительные супергармонические функции мажорируются потенциалом следовательно, составляют убывающую последовательность потенциалов, сходящуюся к нулю при Соответствующие ассоциированные меры сильно сходятся к нулю, откуда получается искомая аппроксимация посредством

Лемма 3. Пусть последовательность мер Тогда

1) слабая сходимость последовательности к мере влечет за собой грубую сходимость;

2) если нормы не превосходят фиксированного числа то из грубой сходимости последовательности произвольной, необходимо положительной мере следует, что и что слабо сходится к

Пусть сначала последовательность слабо сходится к тогда для любой меры К, ассоциированной с функцией вида Следовательно, для функций составляющих положительно обильное множество, имеем откуда следует грубая сходимость.

Допустим теперь, что выполняются предположения второй части леммы. Так как потенциал полунепрерывен снизу, он является пределом возрастающей последовательности конечных и непрерывных функций с компактным носителем и

Поскольку

находим, что а следовательно, и

Точно так же, есть предел функций аналогичных и

причем

Следовательно, и

Для любой меры потенциал которой конечен, непрерывен и имеет компактный носитель, в силу грубой сходимости имеем

т. е. откуда, по лемме 2 (нормы ограничены), вытекает слабая сходимость последовательности к мере

Вторая часть леммы 3 позволяет доказать основную теорему. Пусть последовательность Коши мер последовательность норм ограничена. Для последовательности Коши из слабой сходимости будет следовать сильная сходимость в согласно лемме 3, слабая сходимость будет следовать из грубой сходимости, которую мы сейчас и докажем.

Пусть имеем

Следовательно, есть последовательность Коши действительных чисел, и она сходится, в частности, для мер X, ассоциированных с функциями Таким образом, последовательность сходится для всех функций составляющих положительно обильное множество. Отсюда следует грубая сходимость последовательности что и доказывает теорему.