§ 4. Закон взаимности

Пусть две положительные меры, имеющие в случае компактный носитель, их потенциалы. В силу симметрии функции имеем

Этот закон легко обобщается на потенциалы Грина.

Применения. а) Пусть положительные меры с компактным носителем. Если потенциал локально ограничен, то -интегрируем.

Например, если мера Лебега на ограниченном многообразии размерности вложенном в то можно показать, что потенциал этой меры конечен и непрерывен, а следовательно, и ограничен на любом компактном множестве; отсюда вытекает, что потенциал -интегрируем, какова бы ни была положительная мера с компактным носителем. Для многообразия размерности потенциал бесконечен; такое многообразие является полярным множеством.

б) Пусть положительные меры с компактными носителями в Если то . В самом деле, пусть равномерно распределенная масса на сфере достаточно большого

радиуса, причем в Тогда

Этот принцип можно назвать принципом положительности масс (если провести рассуждение для разности Его можно распространить на потенциалы Грина, не равные тождественно даже в случае и без ограничений на компактность носителя.