§ 4. Основная теорема разрешимости

Пусть ограниченная область пространства некоторая точка из Для того чтобы определенная на функция была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы она была -интегрируемой, и тогда

Более того, для любой функции имеют место равенства

Пусть сначала полунепрерывная снизу функция, причем и, следовательно, ограничена снизу; тогда справедливы равенства

причем члены этих равенств могут быть равны

В самом деле, есть предел возрастающей последовательности конечных и непрерывных функций на Согласно доказанному свойству [§ 2, свойство 3, б)], имеем

Кроме того, откуда т. е. Следовательно, функции совпадают и равны конечному или нет интегралу

Точно так же, если полунепрерывная сверху функция, то имеют место равенства (1), причем члены этих равенств могут быть равны

Рассмотрим теперь произвольную функцию Докажем, что следовательно,

Обозначим через 0 множество определенных на функций полунепрерывных снизу и мажорирующих По определению,

Пусть дано для фиксированной точки х существует такая функция что Функция очевидно, принадлежит Таким образом, следовательно,

Замечание. Если конечна, то существует разрешимая и даже борелевская функция такая, что

Это утверждение можно доказать в случае области, заметив, что для полунепрерывных снизу функций мажорирующих и рассмотрев убывающую последовательность таких функций для фиксированной точки х.